En mathématiques, le logarithme est l'inverse de la fonction exponentielle. Cela signifie que le logarithme de lg est la puissance à laquelle le nombre b doit être élevé pour obtenir x comme résultat. Dans le cas le plus simple, il prend en compte la multiplication répétée d'une même valeur.
Prenons un exemple précis:
1000=10 × 10 × 10=103
Dans ce cas, il s'agit du logarithme en base dix de lg. Il est égal à trois.
lg101000=3
En général, l'expression ressemblera à ceci:
lgbx=a
L'exponentiation permet d'augmenter n'importe quel nombre réel positif à n'importe quelle valeur réelle. Le résultat sera toujours supérieur à zéro. Par conséquent, le logarithme de deux nombres réels positifs b et x, où b n'est pas égal à 1, est toujours un nombre réel unique a. De plus, il définit la relation entre l'exponentiation et le logarithme:
lgbx=a si ba=x.
Histoire
L'histoire du logarithme (lg) trouve son origine en Europe au XVIIe siècle. C'est l'ouverture d'une nouvelle fonctionnalitéélargi la portée de l'analyse au-delà des méthodes algébriques. La méthode des logarithmes a été proposée publiquement par John Napier en 1614 dans un livre intitulé Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ("Description des règles remarquables des logarithmes"). Avant l'invention du scientifique, il existait d'autres méthodes dans des domaines similaires, comme l'utilisation de tables de progression développées par Jost Bürggi vers 1600.
Le logarithme décimal lg est le logarithme en base dix. Pour la première fois, des logarithmes réels ont été utilisés avec des heuristiques pour convertir la multiplication en addition, facilitant un calcul rapide. Certaines de ces méthodes utilisaient des tables dérivées d'identités trigonométriques.
La découverte de la fonction désormais connue sous le nom de logarithme (lg) est attribuée à Grégoire de Saint Vincent, un Belge vivant à Prague, qui tentait de quadraturer une hyperbole rectangulaire.
Utiliser
Les logarithmes sont souvent utilisés en dehors des mathématiques. Certains de ces cas sont liés à la notion d'invariance d'échelle. Par exemple, chaque chambre de la coquille de nautile est une copie approximative de la suivante, réduite ou agrandie d'un certain nombre de fois. C'est ce qu'on appelle une spirale logarithmique.
Les dimensions des géométries faites maison, dont certaines parties ressemblent au produit final, sont également basées sur des logarithmes. Les échelles logarithmiques sont utiles pour quantifier le changement relatifvaleurs. De plus, comme la fonction logbx croît très lentement à grand x, des échelles logarithmiques sont utilisées pour compresser des données scientifiques à grande échelle. Les logarithmes apparaissent également dans de nombreuses formules scientifiques telles que l'équation de Fenske ou l'équation de Nernst.
Calcul
Certains logarithmes peuvent être facilement calculés, par exemple log101000=3. En général, ils peuvent être calculés à l'aide de séries de puissances ou de la moyenne arithmétique-géométrique, ou extraits de un tableau pré-calculé de logarithmes, qui a une grande précision.
La méthode itérative de Newton pour résoudre des équations peut également être utilisée pour trouver la valeur du logarithme. Puisque la fonction inverse de la logarithmique est exponentielle, le processus de calcul est grandement simplifié.
