Triangle est la figure la plus simple fermée sur le plan, composée de seulement trois segments interconnectés. Dans les problèmes de géométrie, il est souvent nécessaire de déterminer l'aire de cette figure. Que devez-vous savoir pour cela ? Dans l'article, nous répondrons à la question de savoir comment trouver l'aire d'un triangle sur trois côtés.
Formule générale
Chaque élève sait que l'aire d'un triangle est calculée comme le produit de la longueur de l'un de ses côtés - a par la moitié de la hauteur - h, abaissée du côté choisi. Ci-dessous la formule correspondante: S=ah/2.
Cette expression peut être utilisée si au moins deux côtés et la valeur de l'angle entre eux sont connus. Dans ce cas, la hauteur h est facile à calculer à l'aide de fonctions trigonométriques, telles que le sinus. Mais tout le monde ne sait pas comment trouver l'aire de trois côtés d'un triangle.
Formule du héron
Cette formule est la réponse à la question de savoir commenttrois côtés trouvent l'aire du triangle. Avant de l'écrire, notons les longueurs des segments d'une figure arbitraire comme a, b et c. La formule de Heron s'écrit: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Où p est le demi-périmètre de la figure, soit: p=(a+b+c)/2.
Malgré la lourdeur apparente, l'expression ci-dessus pour la zone S est facile à retenir. Pour ce faire, vous devez d'abord calculer le demi-périmètre du triangle, puis en soustraire une longueur de côté de la figure, multiplier toutes les différences obtenues et le demi-périmètre lui-même. Enfin, prenez la racine carrée du produit.
Cette formule porte le nom de Héron d'Alexandrie, qui vécut au début de notre ère. L'histoire moderne pense que c'est ce philosophe qui a le premier appliqué cette expression pour effectuer les calculs correspondants. Cette formule est publiée dans son Metrica, qui remonte à 60 après JC. A noter que certaines des œuvres d'Archimède, qui vécut deux siècles avant Héron, contiennent des signes dont le philosophe grec connaissait déjà la formule. De plus, les anciens Chinois savaient aussi comment trouver l'aire d'un triangle, connaissant trois côtés.
Il est important de noter que le problème peut être résolu sans connaître l'existence de la formule de Heron. Pour ce faire, dessinez quelques hauteurs dans le triangle et utilisez la formule générale du paragraphe précédent, en compilant le système d'équations approprié.
L'expression de Heron peut être utilisée pour calculer les surfaces de polygones arbitraires, après les avoir divisés entriangles et en calculant les longueurs des diagonales résultantes.
Exemple de résolution de problèmes
Savoir trouver l'aire d'un triangle sur trois côtés, consolidons nos connaissances en résolvant le problème suivant. Soit les côtés de la figure 5 cm, 4 cm et 3 cm. Trouvez l'aire.
Les trois côtés d'un triangle sont connus, vous pouvez donc utiliser la formule de Heron. On calcule le demi-périmètre et les écarts nécessaires, on a:
- p=(a+b+c)/2=6cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Alors on obtient l'aire: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Le triangle donné dans la condition du problème est rectangle, ce qui est facile à vérifier si vous utilisez le théorème de Pythagore. Puisque l'aire d'un tel triangle est la moitié du produit des jambes, on obtient: S=43/2=6 cm2.
La valeur résultante est la même que pour la formule de Heron, ce qui confirme la validité de cette dernière.
