Le triangle est l'une des formes géométriques les plus courantes, que nous connaissons déjà à l'école primaire. La question de savoir comment trouver l'aire d'un triangle est posée à tous les élèves des cours de géométrie. Alors, quelles sont les caractéristiques de la recherche de l'aire d'une figure donnée peut être distinguée? Dans cet article, nous examinerons les formules de base nécessaires pour accomplir une telle tâche, ainsi que nous analyserons les types de triangles.
Types de triangles
Vous pouvez trouver l'aire d'un triangle de manière complètement différente, car en géométrie, il existe plus d'un type de figure contenant trois angles. Ces espèces comprennent:
- Triangle aigu.
- Obt-angle.
- Équilatéral (correct).
- Triangle rectangle.
- Isocèle.
Regardons de plus près chacun des types de triangles existants.
Aiguëtriangle
Une telle figure géométrique est considérée comme la plus courante dans la résolution de problèmes géométriques. Lorsqu'il devient nécessaire de dessiner un triangle arbitraire, cette option vient à la rescousse.
Dans un triangle aigu, comme son nom l'indique, tous les angles sont aigus et totalisent 180°.
Triangle à angle obt
Ce triangle est également très courant, mais un peu moins courant que celui à angle aigu. Par exemple, lors de la résolution de triangles (c'est-à-dire que vous connaissez plusieurs de ses côtés et angles et que vous devez trouver les éléments restants), vous devez parfois déterminer si l'angle est obtus ou non. Le cosinus d'un angle obtus est un nombre négatif.
Dans un triangle obtus, la valeur d'un des angles dépasse 90°, donc les deux angles restants peuvent prendre de petites valeurs (par exemple, 15° voire 3°).
Pour trouver l'aire d'un triangle de ce type, vous devez connaître quelques nuances, dont nous parlerons plus tard.
Triangles réguliers et isocèles
Un polygone régulier est une figure qui comprend n angles et tous les côtés et angles sont égaux. C'est le triangle rectangle. Puisque la somme de tous les angles d'un triangle est de 180°, chacun des trois angles est de 60°.
Un triangle régulier, en raison de sa propriété, est aussi appelé une figure équilatérale.
Il convient également de noter que dansun triangle régulier ne peut être inscrit que d'un seul cercle et un seul cercle peut être circonscrit autour de lui, et leurs centres sont situés en un point.
Outre le type équilatéral, on peut aussi sélectionner un triangle isocèle, qui en diffère légèrement. Dans un tel triangle, deux côtés et deux angles sont égaux l'un à l'autre, et le troisième côté (auquel se rejoignent des angles égaux) est la base.
La figure montre un triangle isocèle DEF, dont les angles D et F sont égaux, et DF est la base.
Triangle rectangle
Un triangle rectangle est nommé ainsi parce que l'un de ses angles est un angle droit, c'est-à-dire égal à 90°. Les deux autres angles totalisent 90°.
Le plus grand côté d'un tel triangle, opposé à l'angle de 90°, est l'hypoténuse, tandis que les deux autres côtés sont les jambes. Pour ce type de triangles, le théorème de Pythagore s'applique:
La somme des carrés des longueurs des jambes est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse.
La figure montre un triangle rectangle BAC avec l'hypoténuse AC et les jambes AB et BC.
Pour trouver l'aire d'un triangle avec un angle droit, vous devez connaître les valeurs numériques de ses jambes.
Passons aux formules pour trouver l'aire de cette figure.
Formules de surface de base
En géométrie, il existe deux formules qui conviennent pour trouver l'aire de la plupart des types de triangles, à savoir pour les angles aigus, obtus, réguliers ettriangles isocèles. Analysons chacun d'eux.
Par côté et hauteur
Cette formule est universelle pour trouver l'aire de la figure que nous considérons. Pour ce faire, il suffit de connaître la longueur du côté et la longueur de la hauteur qui y est dessinée. La formule elle-même (la moitié du produit de la base et de la hauteur) ressemble à ceci:
S=½AH, où A est le côté du triangle donné et H est la hauteur du triangle.
Par exemple, pour trouver l'aire d'un triangle à angle aigu ACB, vous devez multiplier son côté AB par la hauteur CD et diviser la valeur obtenue par deux.
Cependant, il n'est pas toujours facile de trouver l'aire d'un triangle de cette façon. Par exemple, pour utiliser cette formule pour un triangle à angle obtus, vous devez continuer l'un de ses côtés et seulement après cela, lui tracer une hauteur.
En pratique, cette formule est plus souvent utilisée que les autres.
Sur deux côtés et un coin
Cette formule, comme la précédente, convient à la plupart des triangles et, dans sa signification, est une conséquence de la formule permettant de trouver l'aire du côté et de la hauteur d'un triangle. Autrement dit, la formule considérée peut être facilement dérivée de la précédente. Son libellé ressemble à ceci:
S=½sinOAB, où A et B sont les côtés d'un triangle et O est l'angle entre les côtés A et B.
Rappelez-vous que le sinus d'un angle peut être visualisé dans un tableau spécial nommé d'après le remarquable mathématicien soviétique V. M. Bradis.
Et maintenant passons aux autres formules,convient uniquement aux types exceptionnels de triangles.
Aire d'un triangle rectangle
En plus de la formule universelle, qui inclut la nécessité de tracer une hauteur dans un triangle, l'aire d'un triangle contenant un angle droit peut être trouvée par ses jambes.
Ainsi, l'aire d'un triangle contenant un angle droit est la moitié du produit de ses jambes, ou:
S=½ab, où a et b sont les côtés d'un triangle rectangle.
Triangle régulier
Ce type de figures géométriques diffère en ce que son aire peut être trouvée avec la valeur spécifiée d'un seul de ses côtés (puisque tous les côtés d'un triangle régulier sont égaux). Ainsi, après avoir rencontré la tâche de "trouver l'aire d'un triangle lorsque les côtés sont égaux", vous devez utiliser la formule suivante:
S=A2√3 / 4, où A est le côté d'un triangle équilatéral.
Formule du héron
La dernière option pour trouver l'aire d'un triangle est la formule de Heron. Pour l'utiliser, vous devez connaître les longueurs des trois côtés de la figure. La formule de Heron ressemble à ceci:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), où a, b et c sont les côtés de ce triangle.
Parfois, la tâche donnée: "l'aire d'un triangle régulier - trouver la longueur de son côté." Dans ce cas, vous devez utiliser la formule déjà connue pour trouver l'aire d'un triangle régulier et en déduire la valeur du côté (ou de son carré):
A2=4S / √3.
Problèmes d'examen
Dans les tâches GIAIl existe de nombreuses formules en mathématiques. De plus, il est souvent nécessaire de trouver l'aire d'un triangle sur du papier quadrillé.
Dans ce cas, il est plus pratique de tracer la hauteur sur l'un des côtés de la figure, de déterminer sa longueur par cellules et d'utiliser la formule universelle pour trouver l'aire:
S=½AH.
Donc, après avoir étudié les formules présentées dans l'article, vous n'aurez aucun problème à trouver l'aire d'un triangle quel qu'il soit.
