L'une des figures qui apparaît lors de la résolution de problèmes géométriques dans l'espace est un cône. Il appartient, contrairement aux polyèdres, à la classe des figures de rotation. Considérons dans l'article ce que cela signifie en géométrie et explorons les caractéristiques des différentes sections du cône.
Cône en géométrie
Supposons qu'il y ait une courbe sur le plan. Il peut s'agir d'une parabole, d'un cercle, d'une ellipse, etc. Prenez un point qui n'appartient pas au plan spécifié et connectez-y tous les points de la courbe. La surface résultante est appelée un cône ou simplement un cône.
Si la courbe originale est fermée, alors la surface conique peut être remplie de matière. La figure ainsi obtenue est un corps tridimensionnel. On l'appelle aussi cône. Plusieurs cônes en papier sont illustrés ci-dessous.
La surface conique se retrouve dans la vie de tous les jours. Par exemple, un cornet de crème glacée ou un cône de signalisation rayé a cette forme, qui est conçue pour attirer l'attention des conducteurs etpiétons.
Types de cônes
Comme vous pouvez le deviner, les figures considérées diffèrent les unes des autres par le type de courbe sur laquelle elles sont formées. Par exemple, il y a un cône rond ou un elliptique. Cette courbe s'appelle la base de la figure. Cependant, la forme de la base n'est pas la seule caractéristique qui permet la classification des cônes.
La deuxième caractéristique importante est la position de la hauteur par rapport à la base. La hauteur d'un cône est un segment de droite, qui est abaissé du haut de la figure au plan de la base et perpendiculaire à ce plan. Si la hauteur coupe la base au centre géométrique (par exemple, au centre du cercle), alors le cône sera droit, si le segment perpendiculaire tombe à tout autre point de la base ou au-delà, alors la figure sera oblique.
Plus loin dans l'article, nous ne considérerons qu'un cône droit rond comme un représentant brillant de la classe de figures considérée.
Noms géométriques des éléments coniques
Il a été dit plus haut que le cône a une base. Il est délimité par un cercle, qui s'appelle le guide du cône. Les segments reliant le guide à un point qui ne se situe pas dans le plan de la base sont appelés génératrices. L'ensemble de tous les points des générateurs est appelé la surface conique ou latérale de la figure. Pour un cône droit rond, tous les générateurs ont la même longueur.
Le point d'intersection des génératrices est appelé le haut de la figure. Contrairement aux polyèdres, un cône a un seul sommet et aucunbord.
Une ligne droite passant par le haut de la figure et le centre du cercle s'appelle l'axe. L'axe contient la hauteur d'un cône droit, il forme donc un angle droit avec le plan de la base. Cette information est importante lors du calcul de l'aire de la section axiale du cône.
Cône droit rond - figure de rotation
Le cône considéré est une figure assez symétrique, qui peut être obtenue à la suite de la rotation du triangle. Supposons que nous ayons un triangle avec un angle droit. Pour obtenir un cône, il suffit de faire pivoter ce triangle autour d'une des pattes comme le montre la figure ci-dessous.
On peut voir que l'axe de rotation est l'axe du cône. L'une des jambes sera égale à la hauteur de la figure et la deuxième jambe deviendra le rayon de la base. L'hypoténuse d'un triangle résultant d'une rotation décrira une surface conique. Ce sera la génératrice du cône.
Cette méthode d'obtention d'un cône droit rond est pratique à utiliser pour étudier la relation mathématique entre les paramètres linéaires de la figure: la hauteur h, le rayon de la base ronde r et le guide g. La formule correspondante découle des propriétés d'un triangle rectangle. Il est répertorié ci-dessous:
g2=h2+ r2.
Comme nous avons une équation et trois variables, cela signifie que pour définir de manière unique les paramètres d'un cône rond, vous devez connaître deux quantités.
Sections d'un cône par un plan qui ne contient pas le sommet de la figure
La question de la construction de sections d'une figure n'est pasbanal. Le fait est que la forme de la section du cône par la surface dépend de la position relative de la figure et de la sécante.
Supposons que nous intersectons le cône avec un plan. Quel sera le résultat de cette opération géométrique ? Les options de forme de section sont illustrées dans la figure ci-dessous.
La section rose est un cercle. Il est formé à la suite de l'intersection de la figure avec un plan parallèle à la base du cône. Ce sont des coupes perpendiculaires à l'axe de la figure. La figure formée au-dessus du plan de coupe est un cône similaire à celui d'origine, mais ayant un cercle plus petit à la base.
La section verte est une ellipse. Il est obtenu si le plan de coupe n'est pas parallèle à la base, mais qu'il ne coupe que la surface latérale du cône. Une figure coupée au-dessus du plan est appelée un cône oblique elliptique.
Les sections bleue et orange sont respectivement paraboliques et hyperboliques. Comme vous pouvez le voir sur la figure, ils sont obtenus si le plan de coupe coupe simultanément la surface latérale et la base de la figure.
Pour déterminer les aires des sections du cône qui ont été considérées, il est nécessaire d'utiliser les formules de la figure correspondante sur le plan. Par exemple, pour un cercle, c'est le nombre Pi multiplié par le carré du rayon, et pour une ellipse, c'est le produit de Pi et de la longueur des demi-axes mineur et majeur:
cercle: S=pir2;
ellipse: S=piab.
Sections contenant le sommet du cône
Considérez maintenant les options pour les sections qui surviennent si le plan de coupe estpasser par le haut du cône. Trois cas sont possibles:
- La section est un seul point. Par exemple, un plan passant par le sommet et parallèle à la base donne exactement une telle section.
- La section est une ligne droite. Cette situation se produit lorsque le plan est tangent à une surface conique. La ligne droite de la section dans ce cas sera la génératrice du cône.
- Section axiale. Il se forme lorsque le plan contient non seulement le haut de la figure, mais également tout son axe. Dans ce cas, le plan sera perpendiculaire à la base ronde et divisera le cône en deux parties égales.
De toute évidence, les aires des deux premiers types de sections sont égales à zéro. Quant à la section transversale du cône pour le 3ème type, cette question est discutée plus en détail dans le paragraphe suivant.
Section axiale
On a noté plus haut que la section axiale d'un cône est la figure formée lorsque le cône est coupé par un plan passant par son axe. Il est facile de deviner que cette section représentera la figure montrée dans la figure ci-dessous.
C'est un triangle isocèle. Le sommet de la section axiale du cône est le sommet de ce triangle, formé par l'intersection de côtés identiques. Ces dernières sont égales à la longueur de la génératrice du cône. La base du triangle est le diamètre de la base du cône.
Calculer l'aire de la section axiale d'un cône revient à trouver l'aire du triangle résultant. Si le rayon de la base r et la hauteur h du cône sont initialement connus, alors l'aire S de la section considérée sera:
S=hr.
Cecil'expression est une conséquence de l'application de la formule standard pour l'aire d'un triangle (la moitié du produit de la hauteur par la base).
Notez que si la génératrice d'un cône est égale au diamètre de sa base ronde, alors la section axiale du cône est un triangle équilatéral.
Une section triangulaire est formée lorsque le plan de coupe est perpendiculaire à la base du cône et passe par son axe. Tout autre plan parallèle à celui nommé donnera une hyperbole en coupe. Cependant, si le plan contient le sommet du cône et coupe sa base non par le diamètre, alors la section résultante sera également un triangle isocèle.
Le problème de la détermination des paramètres linéaires du cône
Montrons comment utiliser la formule écrite pour l'aire de la section axiale pour résoudre un problème géométrique.
On sait que l'aire de la section axiale du cône est de 100 cm2. Le triangle résultant est équilatéral. Quelle est la hauteur du cône et le rayon de sa base ?
Comme le triangle est équilatéral, sa hauteur h est liée à la longueur du côté a comme suit:
h=√3/2a.
Étant donné que le côté du triangle est le double du rayon de la base du cône, et en remplaçant cette expression dans la formule de l'aire de la section transversale, nous obtenons:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Alors la hauteur du cône est:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Il reste à substituer la valeur de l'aire à partir de l'état du problèmeet obtenez la réponse:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Dans quels domaines est-il important de connaître les paramètres des sections considérées ?
L'étude de différents types de sections de cône n'a pas seulement un intérêt théorique, mais a aussi des applications pratiques.
Tout d'abord, il convient de noter le domaine de l'aérodynamique, où, à l'aide de sections coniques, il est possible de créer des formes lisses idéales de corps solides.
Deuxièmement, les sections coniques sont des trajectoires le long desquelles des objets spatiaux se déplacent dans des champs gravitationnels. Quel type spécifique de section représente la trajectoire du mouvement des corps cosmiques du système est déterminé par le rapport de leurs masses, vitesses absolues et distances entre eux.
