Dans la pratique, des tâches surviennent souvent qui nécessitent la capacité de construire des sections de formes géométriques de différentes formes et de trouver l'aire des sections. Dans cet article, nous verrons comment les sections importantes d'un prisme, d'une pyramide, d'un cône et d'un cylindre sont construites, et comment calculer leurs aires.
Figures 3D
D'après la stéréométrie, on sait qu'une figure tridimensionnelle d'absolument n'importe quel type est limitée par un certain nombre de surfaces. Par exemple, pour des polyèdres tels qu'un prisme et une pyramide, ces surfaces sont les côtés polygonaux. Pour un cylindre et un cône, on parle de surfaces de révolution de figures cylindriques et coniques.
Si nous prenons un plan et intersectons arbitrairement la surface d'une figure tridimensionnelle, nous obtiendrons une section. Son aire est égale à l'aire de la partie du plan qui sera à l'intérieur du volume de la figure. La valeur minimale de cette zone est zéro, ce qui est réalisé lorsque le plan touche la figure. Par exemple, une section formée d'un seul point est obtenue si le plan passe par le sommet d'une pyramide ou d'un cône. La valeur maximale de la section transversale dépend dela position relative de la figure et du plan, ainsi que la forme et la taille de la figure.
Ci-dessous, nous verrons comment calculer l'aire des sections formées pour deux figures de révolution (cylindre et cône) et deux polyèdres (pyramide et prisme).
Cylindre
Le cylindre circulaire est une figure de rotation d'un rectangle autour de n'importe lequel de ses côtés. Le cylindre est caractérisé par deux paramètres linéaires: le rayon de base r et la hauteur h. Le schéma ci-dessous montre à quoi ressemble un cylindre droit circulaire.
Il existe trois types de section importants pour cette figure:
- rond;
- rectangulaire;
- elliptique.
Elliptique est formé à la suite du plan coupant la surface latérale de la figure à un certain angle par rapport à sa base. L'arrondi est le résultat de l'intersection du plan de coupe de la surface latérale parallèle à la base du cylindre. Enfin, un rectangle est obtenu si le plan de coupe est parallèle à l'axe du cylindre.
La surface circulaire est calculée par la formule:
S1=pir2
L'aire de la section axiale, c'est-à-dire rectangulaire, qui passe par l'axe du cylindre, est définie comme suit:
S2=2rh
Sections de cône
Un cône est une figure de rotation d'un triangle rectangle autour d'une des jambes. Le cône a un sommet et une base ronde. Ses paramètres sont également le rayon r et la hauteur h. Un exemple de cône en papier est illustré ci-dessous.
Il existe plusieurs types de sections coniques. Listons-les:
- rond;
- elliptique;
- parabolique;
- hyperbolique;
- triangulaire.
Ils se remplacent si vous augmentez l'angle d'inclinaison du plan sécant par rapport à la base ronde. Le moyen le plus simple est d'écrire les formules pour l'aire de la section transversale de circulaire et triangulaire.
Une section circulaire est formée à la suite de l'intersection d'une surface conique avec un plan parallèle à la base. Pour sa superficie, la formule suivante est valable:
S1=pir2z2/h 2
Ici z est la distance entre le haut de la figure et la section formée. On peut voir que si z=0, alors le plan ne passe que par le sommet, donc l'aire S1 sera égale à zéro. Depuis z < h, l'aire de la section étudiée sera toujours inférieure à sa valeur pour la base.
Triangulaire est obtenu lorsque le plan coupe la figure le long de son axe de rotation. La forme de la section résultante sera un triangle isocèle dont les côtés sont le diamètre de la base et deux génératrices du cône. Comment trouver l'aire de la section transversale d'un triangle? La réponse à cette question sera la formule suivante:
S2=rh
Cette égalité est obtenue en appliquant la formule de l'aire d'un triangle arbitraire par la longueur de sa base et sa hauteur.
Sections de prisme
Prism est une grande classe de figures qui se caractérisent par la présence de deux bases polygonales identiques parallèles l'une à l'autre,reliées par des parallélogrammes. Toute section d'un prisme est un polygone. Compte tenu de la diversité des figures considérées (prismes obliques, droits, n-gonaux, réguliers, concaves), la variété de leurs sections est également grande. Ci-dessous, nous ne considérons que certains cas particuliers.
Si le plan de coupe est parallèle à la base, alors l'aire de la section transversale du prisme sera égale à l'aire de cette base.
Si le plan passe par les centres géométriques des deux bases, c'est-à-dire qu'il est parallèle aux bords latéraux de la figure, un parallélogramme est alors formé dans la section. Dans le cas de prismes droits et réguliers, la vue en coupe considérée sera un rectangle.
Pyramide
Pyramid est un autre polyèdre composé d'un n-gone et de n triangles. Un exemple de pyramide triangulaire est illustré ci-dessous.
Si la section est dessinée par un plan parallèle à la base n-gonale, alors sa forme sera exactement égale à la forme de la base. La superficie d'une telle section est calculée par la formule:
S1=So(h-z)2/h 2
Où z est la distance entre la base et le plan de coupe, So est l'aire de la base.
Si le plan de coupe contient le sommet de la pyramide et coupe sa base, alors nous obtenons une section triangulaire. Pour calculer son aire, vous devez vous référer à l'utilisation de la formule appropriée pour un triangle.
