La pyramide est une figure spatiale géométrique dont les caractéristiques sont étudiées au lycée dans le cours de géométrie solide. Dans cet article, nous allons considérer une pyramide triangulaire, ses types, ainsi que des formules pour calculer sa surface.
De quelle pyramide parle-t-on ?
Une pyramide triangulaire est une figure qui peut être obtenue en reliant tous les sommets d'un triangle arbitraire avec un seul point qui ne se trouve pas dans le plan de ce triangle. Selon cette définition, la pyramide considérée devrait être constituée d'un triangle initial, appelé base de la figure, et de trois triangles latéraux qui ont un côté commun avec la base et sont reliés les uns aux autres en un point. Ce dernier est appelé le sommet de la pyramide.
L'image ci-dessus montre une pyramide triangulaire arbitraire.
La figure considérée peut être oblique ou droite. Dans ce dernier cas, la perpendiculaire descendue du sommet de la pyramide à sa base doit l'intersecter au centre géométrique. le centre géométrique de touttriangle est le point d'intersection de ses médianes. Le centre géométrique coïncide avec le centre de masse de la figure en physique.
Si un triangle régulier (équilatéral) se trouve à la base d'une pyramide droite, alors on l'appelle un triangle régulier. Dans une pyramide régulière, tous les côtés sont égaux les uns aux autres et sont des triangles équilatéraux.
Si la hauteur d'une pyramide régulière est telle que ses triangles latéraux deviennent équilatéraux, alors on l'appelle un tétraèdre. Dans un tétraèdre, les quatre faces sont égales les unes aux autres, donc chacune d'elles peut être considérée comme une base.
Éléments de la pyramide
Ces éléments incluent les faces ou les côtés d'une figure, ses arêtes, ses sommets, sa hauteur et ses apothèmes.
Comme indiqué, tous les côtés d'une pyramide triangulaire sont des triangles. Leur nombre est 4 (3 latéraux et un à la base).
Les sommets sont les points d'intersection des trois côtés triangulaires. Il n'est pas difficile de deviner que pour la pyramide considérée il y en a 4 (3 appartiennent à la base et 1 au sommet de la pyramide).
Les arêtes peuvent être définies comme des lignes qui coupent deux côtés triangulaires, ou comme des lignes qui relient tous les deux sommets. Le nombre d'arêtes correspond au double du nombre de sommets de la base, c'est-à-dire que pour une pyramide triangulaire, il est de 6 (3 arêtes appartiennent à la base et 3 arêtes sont formées par les faces latérales).
La hauteur, comme indiqué ci-dessus, est la longueur de la perpendiculaire tirée du sommet de la pyramide à sa base. Si nous traçons les hauteurs de ce sommet à chaque côté de la base triangulaire,alors ils seront appelés apotems (ou apothèmes). Ainsi, la pyramide triangulaire a une hauteur et trois apothèmes. Ces derniers sont égaux entre eux pour une pyramide régulière.
La base de la pyramide et son aire
Comme la base de la figure considérée est généralement un triangle, pour calculer son aire il suffit de trouver sa hauteur ho et la longueur du côté de la base a, sur lequel il est abaissé. La formule pour l'aire So de la base est:
So=1/2hoa
Si le triangle de la base est équilatéral, alors l'aire de la base de la pyramide triangulaire est calculée à l'aide de la formule suivante:
So=√3/4a2
C'est-à-dire que l'aire So est uniquement déterminée par la longueur du côté a de la base triangulaire.
Côté et aire totale de la figure
Avant de considérer l'aire d'une pyramide triangulaire, il est utile de montrer son développement. Elle est illustrée ci-dessous.
L'aire de ce balayage formé par quatre triangles est l'aire totale de la pyramide. L'un des triangles correspond à la base, dont la formule pour la valeur considérée a été écrite ci-dessus. Trois faces triangulaires latérales forment ensemble la zone latérale de la figure. Par conséquent, pour déterminer cette valeur, il suffit d'appliquer la formule ci-dessus pour un triangle arbitraire à chacun d'eux, puis d'ajouter les trois résultats.
Si la pyramide est correcte, alors le calculsurface latérale est facilitée, puisque toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux identiques. Notons hbla longueur de l'apothème, puis l'aire de la surface latérale Sb peut être déterminée comme suit:
Sb=3/2ahb
Cette formule découle de l'expression générale de l'aire d'un triangle. Le nombre 3 est apparu dans les numérateurs en raison du fait que la pyramide a trois faces latérales.
Apotema hb dans une pyramide régulière peut être calculé si la hauteur de la figure h est connue. En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient:
hb=√(h2+ a2/12)
De toute évidence, l'aire totale S de la surface de la figure est égale à la somme de ses aires latérales et de sa base:
S=So+ Sb
Pour une pyramide régulière, en substituant toutes les valeurs connues, on obtient la formule:
S=√3/4a2+ 3/2a√(h2+ a 2/12)
L'aire d'une pyramide triangulaire ne dépend que de la longueur du côté de sa base et de la hauteur.
Exemple de problème
On sait que le bord latéral d'une pyramide triangulaire est de 7 cm et que le côté de la base est de 5 cm. Vous devez trouver la surface de la figure si vous savez que la pyramide est régulier.
Utiliser une égalité générale:
S=So+ Sb
Zone Soest égal à:
So=√3/4a2 =√3/452 ≈10, 825cm2.
Pour déterminer la surface latérale, vous devez trouver l'apotème. Il n'est pas difficile de montrer que la longueur du bord latéral ab est déterminée par la formule:
hb=√(ab2- a2 /4)=√(7 2- 52/4) ≈ 6.538 cm.
Alors l'aire de Sb est:
Sb=3/2ahb=3/256, 538=49.035 cm2.
L'aire totale de la pyramide est:
S=So+ Sb=10.825 + 49.035=59.86cm2.
Notez que lors de la résolution du problème, nous n'avons pas utilisé la valeur de la hauteur de la pyramide dans les calculs.
