Formules pour l'aire d'un secteur d'un cercle et la longueur de son arc

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 05:26

Le cercle est la figure principale de la géométrie, dont les propriétés sont considérées à l'école en 8e année. L'un des problèmes typiques associés à un cercle est de trouver l'aire d'une partie de celui-ci, appelée secteur circulaire. L'article fournit des formules pour l'aire d'un secteur et la longueur de son arc, ainsi qu'un exemple de leur utilisation pour résoudre un problème spécifique.

Le concept d'un cercle et d'un cercle

Avant de donner la formule de l'aire d'un secteur de cercle, considérons quel est le chiffre indiqué. Selon la définition mathématique, un cercle est compris comme une telle figure sur un plan, dont tous les points sont équidistants d'un certain point (centre).

Quand on considère un cercle, la terminologie suivante est utilisée:

• Rayon - un segment qui est tracé du point central à la courbe du cercle. Il est généralement désigné par la lettre R.
• Diamètre est un segment qui relie deux points du cercle, mais passe également par le centre de la figure. Il est généralement désigné par la lettre D.
• L'arc fait partie d'un cercle courbe. Il est mesuré soit en unités de longueur, soit en utilisant des angles.

Le cercle est une autre figure géométrique importante, c'est une collection de points qui est délimitée par un cercle courbe.

Zone du cercle et circonférence

Les valeurs notées dans le titre de l'article sont calculées à l'aide de deux formules simples. Ils sont listés ci-dessous:

• Circonférence: L=2piR.
• Aire d'un cercle: S=piR².

Dans ces formules, pi est une constante appelée Pi. Il est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être exprimé exactement comme une simple fraction. Pi est d'environ 3,1416.

Comme vous pouvez le voir dans les expressions ci-dessus, pour calculer l'aire et la longueur, il suffit de connaître uniquement le rayon du cercle.

L'aire du secteur du cercle et la longueur de son arc

Avant de considérer les formules correspondantes, rappelons que l'angle en géométrie s'exprime généralement de deux manières principales:

• en degrés sexagésimaux, et une rotation complète autour de son axe est de 360^o;
• en radians, exprimés en fractions de pi et liés aux degrés par l'équation suivante: 2pi=360^o.

Le secteur d'un cercle est une figure délimitée par trois lignes: un arc de cercle et deux rayons situés aux extrémités de cet arc. Un exemple de secteur circulaire est illustré sur la photo ci-dessous.

Se faire une idée de ce qu'est un secteur pour un cercle, c'est facilecomprendre comment calculer son aire et la longueur de l'arc correspondant. On peut voir sur la figure ci-dessus que l'arc du secteur correspond à l'angle θ. Nous savons qu'un cercle complet correspond à 2pi radians, donc la formule de l'aire d'un secteur circulaire prendra la forme: S₁=Sθ/(2 pi)=piR 2^θ/(2pi)=θR2^{/2. Ici l'angle θ est exprimé en radians. Une formule similaire pour la zone du secteur, si l'angle θ est mesuré en degrés, ressemblera à ceci: S}1_=piθR2 ^/360.

La longueur de l'arc formant un secteur est calculée par la formule: L₁=θ2piR/(2pi)=θR. Et si θ est connu en degrés, alors: L₁=piθR/180.

Exemple de résolution de problème

Prenons l'exemple d'un problème simple pour montrer comment utiliser les formules pour l'aire d'un secteur d'un cercle et la longueur de son arc.

On sait que la roue a 12 rayons. Lorsque la roue fait un tour complet, elle parcourt une distance de 1,5 mètre. Quelle est la zone comprise entre deux rayons adjacents de la roue et quelle est la longueur de l'arc entre eux ?

Comme vous pouvez le voir dans les formules correspondantes, pour les utiliser, vous devez connaître deux quantités: le rayon du cercle et l'angle de l'arc. Le rayon peut être calculé en connaissant la circonférence de la roue, puisque la distance parcourue par celle-ci en un tour lui correspond exactement. On a: 2Rpi=1,5, d'où: R=1,5/(2pi)=0,2387 mètre. L'angle entre les rayons les plus proches peut être déterminé en connaissant leur nombre. En supposant que les 12 rayons divisent le cercle de manière égale en secteurs égaux, nous obtenons 12 secteurs identiques. En conséquence, la mesure angulaire de l'arc entre les deux rayons est: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radian.

Nous avons trouvé toutes les valeurs nécessaires, maintenant elles peuvent être substituées dans les formules et calculer les valeurs requises par l'état du problème. On obtient: S₁=0.5236(0.2387)²/2=0.0149 m^2, ou 149cm²; L₁=0,52360,2387=0,125 m ou 12,5 cm.