La capacité de calculer le volume des figures spatiales est importante pour résoudre un certain nombre de problèmes pratiques en géométrie. L'une des formes les plus courantes est la pyramide. Dans cet article, nous examinerons les formules du volume de la pyramide, à la fois pleine et tronquée.
Pyramide en forme de figure tridimensionnelle
Tout le monde connaît les pyramides égyptiennes, ils ont donc une bonne idée de la figure qui sera discutée. Cependant, les structures en pierre égyptiennes ne sont qu'un cas particulier d'une immense classe de pyramides.
L'objet géométrique considéré dans le cas général est une base polygonale dont chaque sommet est relié à un point de l'espace qui n'appartient pas au plan de base. Cette définition conduit à une figure composée d'un n-gone et de n triangles.
Toute pyramide est constituée de n+1 faces, 2n arêtes et n+1 sommets. La figure considérée étant un polyèdre parfait, les nombres d'éléments marqués obéissent à l'égalité d'Euler:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Le polygone à la base donne le nom de la pyramide,par exemple, triangulaire, pentagonale, etc. Un ensemble de pyramides avec différentes bases est montré sur la photo ci-dessous.
Le point auquel n triangles de la figure sont connectés est appelé le sommet de la pyramide. Si une perpendiculaire est abaissée de celle-ci à la base et qu'elle la coupe au centre géométrique, alors une telle figure sera appelée une ligne droite. Si cette condition n'est pas remplie, alors il y a une pyramide inclinée.
Une figure droite dont la base est formée par un n-gone équilatéral (équiangulaire) est dite régulière.
Formule du volume de la pyramide
Pour calculer le volume de la pyramide, on utilise le calcul intégral. Pour ce faire, on divise la figure par des plans sécants parallèles à la base en une infinité de couches minces. La figure ci-dessous montre une pyramide quadrangulaire de hauteur h et de côté L, dans laquelle une fine couche de section est marquée d'un quadrilatère.
La superficie de chacune de ces couches peut être calculée à l'aide de la formule:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Ici A0 est l'aire de la base, z est la valeur de la coordonnée verticale. On peut voir que si z=0, alors la formule donne la valeur A0.
Pour obtenir la formule du volume d'une pyramide, il faut calculer l'intégrale sur toute la hauteur de la figure, c'est-à-dire:
V=∫h0(A(z)dz).
En substituant la dépendance A(z) et en calculant la primitive, on arrive à l'expression:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Nous avons obtenu la formule du volume de la pyramide. Pour trouver la valeur de V, il suffit de multiplier la hauteur de la figure par l'aire de la base, puis de diviser le résultat par trois.
Notez que l'expression résultante est valide pour calculer le volume d'une pyramide d'un type arbitraire. Autrement dit, il peut être incliné et sa base peut être un n-gone arbitraire.
La bonne pyramide et son volume
La formule générale de volume obtenue dans le paragraphe ci-dessus peut être affinée dans le cas d'une pyramide avec la bonne base. La surface d'une telle base est calculée à l'aide de la formule suivante:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Ici L est la longueur d'un polygone régulier à n sommets. Le symbole pi est le nombre pi.
En remplaçant l'expression par A0 dans la formule générale, on obtient le volume d'une pyramide régulière:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Par exemple, pour une pyramide triangulaire, cette formule conduit à l'expression suivante:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Pour une pyramide quadrangulaire régulière, la formule du volume devient:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Déterminer le volume des pyramides régulières nécessite de connaître le côté de leur base et la hauteur de la figure.
Pyramide tronquée
Supposons que nous prenionsune pyramide arbitraire et couper une partie de sa surface latérale contenant le sommet. La figure restante s'appelle une pyramide tronquée. Il se compose déjà de deux bases n-gonales et de n trapèzes qui les relient. Si le plan de coupe était parallèle à la base de la figure, une pyramide tronquée est formée avec des bases similaires parallèles. Autrement dit, les longueurs des côtés de l'un d'eux peuvent être obtenues en multipliant les longueurs de l'autre par un certain coefficient k.
L'image ci-dessus montre une pyramide hexagonale régulière tronquée. On peut voir que sa base supérieure, comme celle du bas, est formée par un hexagone régulier.
La formule du volume d'une pyramide tronquée, qui peut être dérivée à l'aide d'un calcul intégral similaire à celui donné, est:
V=1/3h(La0+ La1+ √(La0 A1)).
Où A0 et A1 sont respectivement les aires des bases inférieure (grande) et supérieure (petite). La variable h est la hauteur de la pyramide tronquée.
Le volume de la pyramide de Khéops
Il est intéressant de résoudre le problème de la détermination du volume que la plus grande pyramide égyptienne contient à l'intérieur.
En 1984, les égyptologues britanniques Mark Lehner et Jon Goodman ont établi les dimensions exactes de la pyramide de Khéops. Sa hauteur d'origine était de 146,50 mètres (actuellement environ 137 mètres). La longueur moyenne de chacun des quatre côtés de la structure était de 230,363 mètres. La base de la pyramide est carrée avec une grande précision.
Utilisons les chiffres donnés pour déterminer le volume de ce géant de pierre. Puisque la pyramide est un quadrangulaire régulier, alors la formule est valable pour elle:
V4=1/3L2h.
Remplacez les nombres, nous obtenons:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Le volume de la pyramide de Khéops est de près de 2,6 millions de m3. A titre de comparaison, notons que la piscine olympique a un volume de 2,5 mille m3. C'est-à-dire que pour remplir toute la pyramide de Khéops, plus de 1000 de ces bassins seront nécessaires !
