L'aire de la surface latérale et le volume d'une pyramide tronquée: formules et exemple de résolution d'un problème typique

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

Lorsqu'on étudie les propriétés des figures dans l'espace tridimensionnel dans le cadre de la stéréométrie, on doit souvent résoudre des problèmes pour déterminer le volume et la surface. Dans cet article, nous montrerons comment calculer le volume et la surface latérale d'une pyramide tronquée à l'aide de formules bien connues.

Pyramide en géométrie

En géométrie, une pyramide ordinaire est une figure dans l'espace, qui est construite sur un n-gon plat. Tous ses sommets sont reliés à un point situé à l'extérieur du plan du polygone. Par exemple, voici une photo montrant une pyramide pentagonale.

Cette figure est formée de faces, de sommets et d'arêtes. La face pentagonale est appelée la base. Les faces triangulaires restantes forment la surface latérale. Le point d'intersection de tous les triangles est le sommet principal de la pyramide. Si une perpendiculaire est abaissée de celle-ci à la base, alors deux options pour la position du point d'intersection sont possibles:

• au centre géométrique, alors la pyramide est appelée une ligne droite;
• pas danscentre géométrique, alors la figure sera oblique.

Plus loin, nous ne considérerons que les figures droites avec une base n-gonale régulière.

Quelle est cette figure - une pyramide tronquée ?

Pour déterminer le volume d'une pyramide tronquée, il est nécessaire de bien comprendre de quelle figure il s'agit spécifiquement. Clarifions ce problème.

Supposons que nous prenions un plan de coupe parallèle à la base d'une pyramide ordinaire et que nous découpions une partie de la surface latérale avec. Si cette opération est effectuée avec la pyramide pentagonale illustrée ci-dessus, vous obtiendrez une figure comme dans la figure ci-dessous.

D'après la photo, on peut voir que cette pyramide a déjà deux bases, et celle du haut est similaire à celle du bas, mais elle est plus petite. La surface latérale n'est plus représentée par des triangles, mais par des trapèzes. Ils sont isocèles, et leur nombre correspond au nombre de côtés de la base. La figure tronquée n'a pas de sommet principal, comme une pyramide régulière, et sa hauteur est déterminée par la distance entre les bases parallèles.

Dans le cas général, si la figure considérée est formée de bases n-gonales, elle a n+2 faces ou côtés, 2n sommets et 3n arêtes. Autrement dit, la pyramide tronquée est un polyèdre.

Formule du volume d'une pyramide tronquée

Rappelons que le volume d'une pyramide ordinaire est égal à 1/3 du produit de sa hauteur et de sa base. Cette formule ne convient pas à une pyramide tronquée, car elle a deux bases. Et son volumesera toujours inférieur à la même valeur pour le chiffre régulier dont il est dérivé.

Sans entrer dans les détails mathématiques de l'obtention de l'expression, nous présentons la formule finale du volume d'une pyramide tronquée. Il s'écrit comme suit:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Ici S₁ et S_{2 sont les aires des bases inférieure et supérieure, respectivement, h est la hauteur de la figure. L'expression écrite vaut non seulement pour une pyramide tronquée régulière droite, mais aussi pour toute figure de cette classe. De plus, quel que soit le type de polygones de base. La seule condition limitant l'utilisation de l'expression pour V est la nécessité que les bases de la pyramide soient parallèles entre elles.}

Plusieurs conclusions importantes peuvent être tirées en étudiant les propriétés de cette formule. Donc, si l'aire de la base supérieure est nulle, nous arrivons à la formule V d'une pyramide ordinaire. Si les aires des bases sont égales les unes aux autres, alors nous obtenons la formule du volume du prisme.

Comment déterminer la surface latérale ?

Connaître les caractéristiques d'une pyramide tronquée nécessite non seulement de pouvoir calculer son volume, mais aussi de savoir déterminer l'aire de la surface latérale.

La pyramide tronquée se compose de deux types de faces:

• trapèzes isocèles;
• bases polygonales.

S'il y a un polygone régulier dans les bases, alors le calcul de son aire ne représente pas une grandedes difficultés. Pour ce faire, il vous suffit de connaître la longueur du côté a et leur nombre n.

Dans le cas d'une surface latérale, le calcul de son aire consiste à déterminer cette valeur pour chacun des n trapèzes. Si le n-gon est correct, alors la formule de la surface latérale devient:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Ici h_b est la hauteur du trapèze, qui est appelé l'apotème de la figure. Les quantités a₁ et a_{2sont les longueurs des côtés des bases n-gonales régulières.}

Pour chaque pyramide tronquée n-gonale régulière, l'apotème h_b peut être défini de manière unique par les paramètres a₁ et a _{2et la hauteur h de la forme.}

La tâche de calculer le volume et l'aire d'une figure

Étant donné une pyramide tronquée triangulaire régulière. On sait que sa hauteur h est de 10 cm et que les longueurs des côtés des bases sont de 5 cm et 3 cm Quels sont le volume de la pyramide tronquée et l'aire de sa surface latérale ?

Premièrement, calculons la valeur V. Pour ce faire, trouvez les aires des triangles équilatéraux situés aux bases de la figure. Nous avons:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10.825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Remplacez les données dans la formule pour V, nous obtenons le volume souhaité:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Pour déterminer la surface latérale, vous devez savoirlongueur de l'apothème h_{b. Considérant le triangle rectangle correspondant à l'intérieur de la pyramide, nous pouvons écrire son égalité:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10.017 cm}

La valeur de l'apothème et les côtés des bases triangulaires sont substitués dans l'expression de S_{b et nous obtenons la réponse:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2cm²

Ainsi, nous avons répondu à toutes les questions du problème: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.