L'aire de la surface latérale d'une pyramide quadrangulaire régulière : formules et exemples de problèmes

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

Les problèmes géométriques typiques dans le plan et dans l'espace tridimensionnel sont les problèmes de détermination des surfaces de différentes formes. Dans cet article, nous présentons la formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide quadrangulaire régulière.

Qu'est-ce qu'une pyramide ?

Donnons une définition géométrique stricte d'une pyramide. Supposons qu'il existe un polygone à n côtés et n coins. Nous choisissons un point arbitraire dans l'espace qui ne sera pas dans le plan du n-gone spécifié et le connectons à chaque sommet du polygone. Nous obtiendrons une figure qui a un certain volume, qui s'appelle une pyramide n-gonale. Par exemple, montrons dans la figure ci-dessous à quoi ressemble une pyramide pentagonale.

Deux éléments importants de toute pyramide sont sa base (n-gon) et son sommet. Ces éléments sont reliés entre eux par n triangles, qui en général ne sont pas égaux entre eux. Perpendiculaire tombé dede haut en bas s'appelle la hauteur de la figure. Si elle coupe la base au centre géométrique (coïncide avec le centre de masse du polygone), une telle pyramide est appelée une ligne droite. Si, en plus de cette condition, la base est un polygone régulier, alors toute la pyramide est dite régulière. La figure ci-dessous montre à quoi ressemblent les pyramides régulières avec des bases triangulaires, quadrangulaires, pentagonales et hexagonales.

Surface pyramidale

Avant d'aborder la question de l'aire de la surface latérale d'une pyramide quadrangulaire régulière, il convient de s'attarder sur le concept de surface elle-même.

Comme mentionné ci-dessus et illustré dans les figures, toute pyramide est formée par un ensemble de faces ou de côtés. Un côté est la base et n côtés sont des triangles. La surface de la figure entière est la somme des aires de chacun de ses côtés.

Il convient d'étudier la surface sur l'exemple d'une figure qui se déroule. Un scan pour une pyramide quadrangulaire régulière est montré dans les figures ci-dessous.

On voit que sa surface est égale à la somme de quatre aires de triangles isocèles identiques et de l'aire d'un carré.

L'aire totale de tous les triangles qui forment les côtés de la figure est appelée l'aire de la surface latérale. Ensuite, nous montrerons comment le calculer pour une pyramide quadrangulaire régulière.

L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière quadrangulaire

Pour calculer l'aire du latéralsurface de la figure spécifiée, nous nous tournons à nouveau vers le scan ci-dessus. Supposons que nous connaissions le côté de la base carrée. Désignons-le par le symbole a. On voit que chacun des quatre triangles identiques a une base de longueur a. Pour calculer leur surface totale, vous devez connaître cette valeur pour un triangle. On sait d'après le cours de géométrie que l'aire d'un triangle S_{t est égale au produit de la base et de la hauteur, qui doit être divisée en deux. C'est-à-dire:}

S_t=1/2h_ba.

Où h_b est la hauteur d'un triangle isocèle tracé à la base a. Pour une pyramide, cette hauteur est l'apothème. Il reste maintenant à multiplier l'expression résultante par 4 pour obtenir l'aire S_{bde la surface latérale de la pyramide en question:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Cette formule contient deux paramètres: l'apothème et le côté de la base. Si ce dernier est connu dans la plupart des conditions du problème, alors le premier doit être calculé en connaissant d'autres quantités. Voici les formules pour calculer apotema h_{b pour deux cas:}

• lorsque la longueur de la nervure latérale est connue;
• lorsque la hauteur de la pyramide est connue.

Si nous notons la longueur du bord latéral (le côté d'un triangle isocèle) avec le symbole L, alors l'apotème h_{b est déterminé par la formule:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Cette expression est le résultat de l'application du théorème de Pythagore pour le triangle de surface latérale.

Si connula hauteur h de la pyramide, alors l'apoteme h_{b peut être calculé comme suit:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Obtenir cette expression n'est pas non plus difficile si l'on considère à l'intérieur de la pyramide un triangle rectangle formé par les jambes h et a/2 et l'hypoténuse h_b.

Montrons comment appliquer ces formules en résolvant deux problèmes intéressants.

Problème avec une surface connue

On sait que la surface latérale d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 108 cm². Il faut calculer la valeur de la longueur de son apothème h_{b, si la hauteur de la pyramide est de 7 cm.}

Écrivons la formule de l'aire S_{bde la surface latérale passant par la hauteur. Nous avons:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Ici, nous venons de remplacer la formule apotema correspondante dans l'expression de S_{b. Mettons au carré les deux côtés de l'équation:}

S_b²=4a²h² + un^4.

Pour trouver la valeur de a, changeons de variable:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Nous substituons maintenant les valeurs connues et résolvons l'équation quadratique:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Nous n'avons écrit que la racine positive de cette équation. Alors les côtés de la base de la pyramide seront:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.

Pour obtenir la longueur de l'apoteme,utilisez simplement la formule:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 voir}

Surface latérale de la pyramide de Khéops

Déterminer la valeur de la surface latérale de la plus grande pyramide égyptienne. On sait qu'à sa base se trouve un carré d'une longueur de côté de 230,363 mètres. La hauteur de la structure était à l'origine de 146,5 mètres. Substituez ces nombres dans la formule correspondante pour S_{b, nous obtenons:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

La valeur trouvée est légèrement supérieure à la superficie de 17 terrains de football.