Quand on étudie absolument n'importe quelle figure spatiale, il est important de savoir comment calculer son volume. Cet article fournit une formule pour le volume d'une pyramide quadrangulaire régulière et montre également comment cette formule doit être utilisée à l'aide d'un exemple de résolution de problèmes.
De quelle pyramide parle-t-on ?
Tous les lycéens savent qu'une pyramide est un polyèdre composé de triangles et d'un polygone. Ce dernier est la base de la figure. Les triangles ont un côté commun avec la base et se coupent en un seul point, qui est le sommet de la pyramide.
Chaque pyramide est caractérisée par la longueur des côtés de la base, la longueur des bords latéraux et la hauteur. Ce dernier est un segment perpendiculaire, abaissé à la base depuis le haut de la figure.
Une pyramide quadrangulaire régulière est une figure à base carrée dont la hauteur coupe ce carré en son centre. L'exemple le plus célèbre de ce type de pyramides est peut-être les anciennes structures de pierre égyptiennes. Ci-dessous une photopyramides de Khéops.
La figure étudiée a cinq faces, dont quatre sont des triangles isocèles identiques. Il est également caractérisé par cinq sommets, dont quatre appartiennent à la base, et huit arêtes (4 arêtes de la base et 4 arêtes des faces latérales).
La formule du volume d'une pyramide quadrangulaire est correcte
Le volume de la figure en question est une partie de l'espace qui est limitée par cinq côtés. Pour calculer ce volume, on utilise la dépendance suivante de l'aire d'une tranche parallèle à la base de la pyramide Sz sur la coordonnée verticale z:
Sz=So (h - z/h)2
Ici So est l'aire de la base carrée. Si nous substituons z=h dans l'expression écrite, alors nous obtiendrons une valeur nulle pour Sz. Cette valeur de z correspond à une tranche qui ne contiendra que le sommet de la pyramide. Si z=0, alors on obtient la valeur de l'aire de base So.
Il est facile de trouver le volume d'une pyramide si l'on connaît la fonction Sz(z), pour cela il suffit de découper la figure en un nombre infini de couches parallèles à la base, puis procéder à l'opération d'intégration. Je suis cette technique, on obtient:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Parce que S0 estl'aire de la base carrée, puis, en désignant le côté du carré par la lettre a, on obtient la formule du volume d'une pyramide quadrangulaire régulière:
V=1/3a2h.
Maintenant, utilisons des exemples de résolution de problèmes pour montrer comment cette expression doit être appliquée.
Le problème de la détermination du volume d'une pyramide à travers son apothème et son bord latéral
L'apothème d'une pyramide est la hauteur de son triangle latéral, qui est abaissé sur le côté de la base. Puisque tous les triangles sont égaux dans une pyramide régulière, leurs apothèmes seront également les mêmes. Désignons sa longueur par le symbole hb. Dénotez le bord latéral par b.
Sachant que l'apothème de la pyramide mesure 12 cm et que son bord latéral mesure 15 cm, trouver le volume d'une pyramide quadrangulaire régulière.
La formule du volume de la figure écrite dans le paragraphe précédent contient deux paramètres: la longueur du côté a et la hauteur h. Pour le moment, nous n'en connaissons aucun, alors regardons leurs calculs.
La longueur du côté d'un carré a est facile à calculer si vous utilisez le théorème de Pythagore pour un triangle rectangle, dans lequel l'hypoténuse est l'arête b et les jambes sont l'apothème h b et la moitié du côté de la base a/2. Nous obtenons:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
En substituant les valeurs connues de la condition, on obtient la valeur a=18 cm.
Pour calculer la hauteur h de la pyramide, vous pouvez faire deux choses: considérez un rectangleun triangle avec une hypoténuse-bord latéral ou avec une hypoténuse-apothème. Les deux méthodes sont égales et impliquent l'exécution du même nombre d'opérations mathématiques. Arrêtons-nous sur la considération d'un triangle dont l'hypoténuse est l'apothème hb. Les jambes seront h et a / 2. Alors on obtient:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7 937 cm.
Vous pouvez maintenant utiliser la formule pour le volume V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Ainsi, le volume d'une pyramide quadrangulaire régulière est d'environ 0,86 litre.
Le volume de la pyramide de Khéops
Résolvons maintenant un problème intéressant et pratiquement important: trouver le volume de la plus grande pyramide de Gizeh. On sait d'après la littérature que la hauteur d'origine du bâtiment était de 146,5 mètres et que la longueur de sa base est de 230,363 mètres. Ces nombres nous permettent d'appliquer la formule pour calculer V. Nous obtenons:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
La valeur résultante est de près de 2,6 millions de m3. Ce volume correspond au volume d'un cube dont le côté mesure 137,4 mètres.
