La stéréométrie, en tant que branche de la géométrie dans l'espace, étudie les propriétés des prismes, cylindres, cônes, boules, pyramides et autres figures tridimensionnelles. Cet article est consacré à une revue détaillée des caractéristiques et des propriétés d'une pyramide régulière hexagonale.
Quelle pyramide sera étudiée
Une pyramide hexagonale régulière est une figure dans l'espace, qui est limitée par un hexagone équilatéral et équiangulaire et six triangles isocèles identiques. Ces triangles peuvent également être équilatéraux sous certaines conditions. Cette pyramide est illustrée ci-dessous.
La même figure est montrée ici, seulement dans un cas elle est tournée avec sa face latérale vers le lecteur, et dans l'autre - avec son bord latéral.
Une pyramide hexagonale régulière a 7 faces, qui ont été mentionnées ci-dessus. Il a également 7 sommets et 12 arêtes. Contrairement aux prismes, toutes les pyramides ont un sommet spécial, qui est formé par l'intersection du latéralTriangles. Pour une pyramide régulière, elle joue un rôle important, puisque la perpendiculaire abaissée de celle-ci à la base de la figure est la hauteur. De plus, la hauteur sera désignée par la lettre h.
La pyramide montrée est qualifiée de correcte pour deux raisons:
- à sa base se trouve un hexagone avec des côtés égaux a et des angles égaux de 120o;
- La hauteur de la pyramide h coupe l'hexagone exactement en son centre (le point d'intersection se trouve à la même distance de tous les côtés et de tous les sommets de l'hexagone).
Superficie
Les propriétés d'une pyramide hexagonale régulière seront considérées à partir de la définition de son aire. Pour ce faire, il est d'abord utile de déplier la figure sur un plan. Une représentation schématique de celui-ci est présentée ci-dessous.
On peut voir que l'aire du balayage, et donc toute la surface de la figure considérée, est égale à la somme des aires de six triangles identiques et d'un hexagone.
Pour déterminer l'aire d'un hexagone S6, utilisez la formule universelle pour un n-gone régulier:
S=n/4a2ctg(pi/n)=>
S6=3√3/2a2.
Où a est la longueur du côté de l'hexagone.
L'aire d'un triangle S3 du côté latéral peut être trouvée si vous connaissez la valeur de sa hauteur hb:
S3=1/2hba.
Parce que les sixtriangles sont égaux les uns aux autres, alors nous obtenons une expression de travail pour déterminer l'aire d'une pyramide hexagonale avec la base correcte:
S=S6+ 6S3=3√3/2a2 + 61/2hba=3a(√3/2a + hb).
Volume pyramidal
Tout comme l'aire, le volume d'une pyramide régulière hexagonale est sa propriété importante. Ce volume est calculé par la formule générale pour toutes les pyramides et tous les cônes. Écrivons-le:
V=1/3Soh.
Ici, le symbole So est l'aire de la base hexagonale, soit So=S 6.
En remplaçant l'expression ci-dessus par S6 dans la formule de V, nous arrivons à l'égalité finale pour déterminer le volume d'une pyramide hexagonale régulière:
V=√3/2a2h.
Un exemple de problème géométrique
Dans une pyramide hexagonale régulière, le bord latéral est deux fois plus long que le côté de base. Sachant que cette dernière mesure 7 cm, il faut calculer la surface et le volume de cette figure.
Comme vous pouvez le deviner, la solution de ce problème implique l'utilisation des expressions obtenues ci-dessus pour S et V. Néanmoins, il ne sera pas possible de les utiliser tout de suite, puisque nous ne connaissons pas l'apothème et le hauteur d'une pyramide hexagonale régulière. Calculons-les.
L'apothème hb peut être déterminé en considérant un triangle rectangle construit sur les côtés b, a/2 et hb. Ici b est la longueur du bord latéral. En utilisant la condition du problème, nous obtenons:
hb=√(b2-a2/4)=√(14 2-72/4)=13 555 cm.
La hauteur h de la pyramide peut être déterminée exactement de la même manière qu'un apothème, mais nous devons maintenant considérer un triangle de côtés h, b et a, situé à l'intérieur de la pyramide. La hauteur sera:
h=√(b2- a2)=√(142- 7 2)=12, 124 cm.
On peut voir que la hauteur calculée est inférieure à celle de l'apothème, ce qui est vrai pour toute pyramide.
Vous pouvez maintenant utiliser des expressions pour le volume et la surface:
S=3a(√3/2a + hb)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm2;
V=√3/2a2h=√3/27212, 124=514, 48cm3.
Ainsi, pour déterminer sans ambiguïté toute caractéristique d'une pyramide hexagonale régulière, vous devez connaître deux de ses paramètres linéaires.
