Prisme triangulaire direct. Formules de volume et de surface. Solution d'un problème géométrique

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

Au lycée, après avoir étudié les propriétés des figures sur le plan, ils passent à la considération d'objets géométriques spatiaux tels que prismes, sphères, pyramides, cylindres et cônes. Dans cet article, nous donnerons la description la plus complète d'un prisme triangulaire droit.

Qu'est-ce qu'un prisme triangulaire ?

Commençons l'article avec la définition de la figure, qui sera discutée plus loin. Un prisme du point de vue de la géométrie est une figure dans l'espace formée de deux n-gones identiques situés dans des plans parallèles, dont les mêmes angles sont reliés par des segments de droite. Ces segments sont appelés côtes latérales. Avec les côtés de la base, ils forment une surface latérale, qui est généralement représentée par des parallélogrammes.

Deux n-gones sont les bases de la figure. Si les bords latéraux leur sont perpendiculaires, alors ils parlent d'un prisme droit. En conséquence, si le nombre de côtés n du polygone aux bases est de trois, alors une telle figure s'appelle un prisme triangulaire.

Le prisme droit triangulaire est illustré ci-dessus sur la figure. Cette figure est aussi dite régulière, puisque ses bases sont des triangles équilatéraux. La longueur du bord latéral de la figure, indiquée par la lettre h sur la figure, est appelée sa hauteur.

La figure montre qu'un prisme à base triangulaire est formé de cinq faces, dont deux sont des triangles équilatéraux et trois sont des rectangles identiques. En plus des faces, le prisme a six sommets aux bases et neuf arêtes. Les nombres d'éléments considérés sont liés entre eux par le théorème d'Euler:

nombre d'arêtes=nombre de sommets + nombre de côtés - 2.

Aire d'un prisme triangulaire droit

Nous avons découvert plus haut que la figure en question est formée de cinq faces de deux types (deux triangles, trois rectangles). Toutes ces faces forment la surface entière du prisme. Leur aire totale est l'aire de la figure. Ci-dessous se trouve un prisme triangulaire qui se déplie, qui peut être obtenu en coupant d'abord deux bases de la figure, puis en coupant le long d'un bord et en dépliant la surface latérale.

Donnons des formules pour déterminer la surface de ce balayage. Commençons par les bases d'un prisme triangulaire rectangle. Puisqu'ils représentent des triangles, l'aire S_{3 de chacun d'eux peut être trouvée comme suit:}

S₃=1/2ah_a.

Ici a est le côté du triangle, h_{a est la hauteur abaissée du sommet du triangle à ce côté.}

Si le triangle est équilatéral (régulier), alors la formule pour S_{3 dépend d'un seul paramètre a. Il ressemble à:}

S₃=√3/4a^2.

Cette expression peut être obtenue en considérant un triangle rectangle formé par les segments a, a/2, h_a.

L'aire des bases S_o pour une figure régulière est le double de la valeur de S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Quant à la surface latérale S_{b, il n'est pas difficile de la calculer. Pour ce faire, il suffit de multiplier par trois l'aire du rectangle osseux formé par les côtés a et h. La formule correspondante est:}

S_b=3ah.

Ainsi, l'aire d'un prisme régulier à base triangulaire se trouve par la formule suivante:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Si le prisme est droit mais irrégulier, alors pour calculer son aire, vous devez additionner séparément les aires des rectangles qui ne sont pas égaux entre eux.

Déterminer le volume d'une figure

Le volume d'un prisme est compris comme l'espace limité par ses côtés (faces). Le calcul du volume d'un prisme triangulaire droit est beaucoup plus facile que le calcul de sa surface. Pour ce faire, il suffit de connaître l'aire de la base et la hauteur de la figure. Puisque la hauteur h d'une figure droite est la longueur de son bord latéral, et comment calculer l'aire de base, nous avons donné dans le précédentpoint, il reste alors à multiplier ces deux valeurs l'une par rapport à l'autre afin d'obtenir le volume souhaité. La formule devient:

V=S_3h.

Notez que le produit de l'aire d'une base et de la hauteur donnera le volume non seulement d'un prisme droit, mais aussi d'une figure oblique et même d'un cylindre.

Résolution de problèmes

Les prismes triangulaires en verre sont utilisés en optique pour étudier le spectre du rayonnement électromagnétique dû au phénomène de dispersion. On sait qu'un prisme en verre ordinaire a une longueur de côté de base de 10 cm et une longueur de bord de 15 cm. Quelle est l'aire de ses faces en verre et quel volume contient-il ?

Pour déterminer la superficie, nous utiliserons la formule écrite dans l'article. Nous avons:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536.6cm^2.

Pour déterminer le volume V, on utilise également la formule ci-dessus:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Malgré le fait que les arêtes du prisme mesurent 10 cm et 15 cm de long, le volume de la figure n'est que de 0,65 litre (un cube de 10 cm de côté a un volume de 1 litre).