Le concept d'un prisme. Formules de volume pour des prismes de différents types : réguliers, droits et obliques. La solution du problème

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 05:26

Le volume est une caractéristique de toute figure qui a des dimensions non nulles dans les trois dimensions de l'espace. Dans cet article, du point de vue de la stéréométrie (la géométrie des figures spatiales), nous considérerons un prisme et montrerons comment trouver les volumes de prismes de différents types.

Qu'est-ce qu'un prisme ?

Stereometry a la réponse exacte à cette question. Un prisme y est compris comme une figure formée de deux faces polygonales identiques et de plusieurs parallélogrammes. L'image ci-dessous montre quatre prismes différents.

Chacun d'entre eux peut être obtenu comme suit: vous devez prendre un polygone (triangle, quadrilatère, etc.) et un segment d'une certaine longueur. Ensuite, chaque sommet du polygone doit être transféré à l'aide de segments parallèles vers un autre plan. Dans le nouveau plan, qui sera parallèle à celui d'origine, un nouveau polygone sera obtenu, similaire à celui choisi initialement.

Les prismes peuvent être de différents types. Ainsi, ils peuvent être droits, obliques et corrects. Si le bord latéral du prisme (segment,reliant les sommets des bases) perpendiculaire aux bases de la figure, alors cette dernière est une droite. En conséquence, si cette condition n'est pas remplie, on parle alors d'un prisme incliné. Une figure régulière est un prisme droit à base équiangulaire et équilatérale.

Plus loin dans l'article, nous montrerons comment calculer le volume de chacun de ces types de prismes.

Volume des prismes réguliers

Commençons par le cas le plus simple. Nous donnons la formule du volume d'un prisme régulier à base n-gonale. La formule de volume V pour toute figure de la classe considérée est la suivante:

V=S_oh.

C'est-à-dire que pour déterminer le volume, il suffit de calculer l'aire de l'une des bases S_o et de la multiplier par la hauteur h de la figure.

Dans le cas d'un prisme régulier, notons la longueur du côté de sa base par la lettre a, et la hauteur, qui est égale à la longueur du bord latéral, par la lettre h. Si la base du n-gon est correcte, le moyen le plus simple de calculer son aire est d'utiliser la formule universelle suivante:

S=n/4a²ctg(pi/n).

En substituant la valeur du nombre de côtés n et la longueur d'un côté a en égalité, vous pouvez calculer l'aire de la base n-gonale. Notez que la fonction cotangente est ici calculée pour l'angle pi/n, qui est exprimé en radians.

Étant donné l'égalité écrite pour S, on obtient la formule finale du volume d'un prisme régulier:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Pour chaque cas spécifique, vous pouvez écrire les formules correspondantes pour V, mais ellesdécoulent uniquement de l'expression générale écrite. Par exemple, pour un prisme quadrangulaire régulier, qui dans le cas général est un parallélépipède rectangle, on obtient:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Si nous prenons h=a dans cette expression, alors nous obtenons la formule du volume du cube.

Volume des prismes directs

On note tout de suite que pour les figures droites il n'y a pas de formule générale de calcul de volume, qui a été donnée plus haut pour les prismes réguliers. Lors de la recherche de la valeur en question, l'expression originale doit être utilisée:

V=S_oh.

Ici h est la longueur du bord latéral, comme dans le cas précédent. Quant à l'aire de base S_o, elle peut prendre diverses valeurs. La tâche de calculer un prisme droit de volume est réduite à trouver l'aire de sa base.

Le calcul de la valeur de S_odoit être effectué en fonction des caractéristiques de la base elle-même. Par exemple, s'il s'agit d'un triangle, l'aire peut être calculée comme suit:

S_o3=1/2ah_a.

Ici h_a est l'apothème du triangle, c'est-à-dire sa hauteur abaissée à la base a.

Si la base est un quadrilatère, alors ce peut être un trapèze, un parallélogramme, un rectangle ou un type complètement arbitraire. Pour tous ces cas, vous devez utiliser la formule de planimétrie appropriée pour déterminer la superficie. Par exemple, pour un trapèze, cette formule ressemble à:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Où h_a est la hauteur du trapèze, a₁ et a₂ sont les longueurs de ses côtés parallèles.

Pour déterminer l'aire des polygones d'un ordre supérieur, il faut les découper en formes simples (triangles, quadrilatères) et calculer la somme des aires de ces derniers.

Volume du prisme incliné

C'est le cas le plus difficile du calcul du volume d'un prisme. La formule générale pour ces chiffres s'applique également:

V=S_oh.

Cependant, à la complexité de trouver l'aire de la base représentant un type arbitraire de polygone, s'ajoute le problème de la détermination de la hauteur de la figure. Elle est toujours inférieure à la longueur du bord latéral d'un prisme incliné.

Le moyen le plus simple de trouver cette hauteur est de connaître n'importe quel angle de la figure (plat ou dièdre). Si un tel angle est donné, alors on devrait l'utiliser pour construire un triangle rectangle à l'intérieur du prisme, qui contiendrait la hauteur h comme l'un des côtés et, en utilisant les fonctions trigonométriques et le théorème de Pythagore, trouver la valeur h.

Problème de volume géométrique

Étant donné un prisme régulier à base triangulaire, ayant une hauteur de 14 cm et une longueur de côté de 5 cm, quel est le volume du prisme triangulaire ?

Puisque nous parlons du chiffre correct, nous avons le droit d'utiliser la formule bien connue. Nous avons:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Un prisme triangulaire est une figure assez symétrique, sous la forme de laquelle diverses structures architecturales sont souvent réalisées. Ce prisme de verre est utilisé en optique.