La capacité à déterminer le volume de figures spatiales est importante pour résoudre des problèmes géométriques et pratiques. L'une de ces figures est un prisme. Nous examinerons dans l'article de quoi il s'agit et montrerons comment calculer le volume d'un prisme incliné.
Qu'entend-on par prisme en géométrie ?
C'est un polyèdre régulier (polyèdre), qui est formé de deux bases identiques situées dans des plans parallèles, et de plusieurs parallélogrammes reliant les bases marquées.
Les bases de prisme peuvent être des polygones arbitraires, tels qu'un triangle, un quadrilatère, un heptagone, etc. De plus, le nombre de coins (côtés) du polygone détermine le nom de la figure.
Tout prisme à base de n-gones (n est le nombre de côtés) est constitué de n+2 faces, 2 × n sommets et 3 × n arêtes. D'après les nombres donnés, on peut voir que le nombre d'éléments du prisme correspond au théorème d'Euler:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
L'image ci-dessous montre à quoi ressemblent les prismes triangulaires et quadrangulaires en verre.
Types de figurines. Prisme incliné
Il a déjà été dit plus haut que le nom d'un prisme est déterminé par le nombre de côtés du polygone à la base. Cependant, il existe d'autres caractéristiques dans sa structure qui déterminent les propriétés de la figure. Ainsi, si tous les parallélogrammes qui forment la surface latérale du prisme sont représentés par des rectangles ou des carrés, alors une telle figure s'appelle une ligne droite. Pour un prisme droit, la distance entre les bases est égale à la longueur du bord latéral de tout rectangle.
Si certains ou tous les côtés sont des parallélogrammes, alors nous parlons d'un prisme incliné. Sa hauteur sera déjà inférieure à la longueur de la nervure latérale.
Un autre critère selon lequel les figures considérées sont classées est la longueur des côtés et les angles du polygone à la base. S'ils sont égaux, le polygone sera correct. Une figure droite avec un polygone régulier aux bases est dite régulière. Il est pratique de travailler avec lui lors de la détermination de la surface et du volume. Un prisme incliné à cet égard présente quelques difficultés.
La figure ci-dessous montre deux prismes à base carrée. L'angle de 90° montre la différence fondamentale entre un prisme droit et un prisme oblique.
Formule pour déterminer le volume d'une figure
La partie de l'espace délimitée par les faces d'un prisme s'appelle son volume. Pour les figures considérées de tout type, cette valeur peut être déterminée par la formule suivante:
V=h × So
Ici, le symbole h désigne la hauteur du prisme,qui est une mesure de la distance entre deux bases. Symbole So- un carré de base.
La zone de base est facile à trouver. Étant donné que le polygone est régulier ou non, et connaissant le nombre de ses côtés, vous devez appliquer la formule appropriée et obtenir So. Par exemple, pour un n-gone régulier de côté a, l'aire sera:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Passons maintenant à la hauteur h. Pour un prisme droit, déterminer la hauteur n'est pas difficile, mais pour un prisme oblique, ce n'est pas une tâche facile. Il peut être résolu par diverses méthodes géométriques, à partir de conditions initiales spécifiques. Cependant, il existe un moyen universel de déterminer la hauteur d'une figure. Décrivons-le brièvement.
L'idée est de trouver la distance entre un point de l'espace et un plan. Supposons que le plan est donné par l'équation:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Alors l'avion sera à distance:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Si les axes de coordonnées sont disposés de sorte que le point (0; 0; 0) se trouve dans le plan de la base inférieure du prisme, alors l'équation du plan de base peut être écrite comme suit:
z=0
Cela signifie que la formule pour la hauteur sera écritedonc:
h=z1
Il suffit de trouver la coordonnée z de n'importe quel point de la base supérieure pour déterminer la hauteur de la figure.
Exemple de résolution de problème
La figure ci-dessous montre un prisme quadrangulaire. La base d'un prisme incliné est un carré de 10 cm de côté. Il est nécessaire de calculer son volume si l'on sait que la longueur du bord latéral est de 15 cm et que l'angle aigu du parallélogramme frontal est de 70 °.
Puisque la hauteur h de la figure est aussi la hauteur du parallélogramme, nous utilisons des formules pour déterminer son aire pour trouver h. Dénotons les côtés du parallélogramme comme suit:
a=10cm;
b=15cm
Ensuite, vous pouvez écrire les formules suivantes pour déterminer l'aire Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
D'où nous obtenons:
h=b × sin (α)
Ici α est un angle aigu du parallélogramme. Puisque la base est un carré, la formule du volume d'un prisme incliné prendra la forme:
V=a2 × b × sin (α)
Nous substituons les données de la condition dans la formule et obtenons la réponse: V ≈ 1410 cm3.
