Chaque élève de l'étude de la stéréométrie au lycée est tombé sur un cône. Deux caractéristiques importantes de cette figure spatiale sont la surface et le volume. Dans cet article, nous allons montrer comment trouver le volume d'un cône rond.
Cône rond comme figure de rotation d'un triangle rectangle
Avant d'entrer directement dans le sujet de l'article, il est nécessaire de décrire le cône d'un point de vue géométrique.
Qu'il y ait un triangle rectangle. Si vous le faites pivoter autour de l'une des jambes, le résultat de cette action sera la figure souhaitée, illustrée dans la figure ci-dessous.
Ici, la jambe AB fait partie de l'axe du cône, et sa longueur correspond à la hauteur de la figure. La deuxième jambe (segment CA) sera le rayon du cône. Lors de la rotation, il décrira un cercle qui délimite la base de la figure. L'hypoténuse BC est appelée la génératrice de la figure, ou sa génératrice. Le point B est le seul sommet du cône.
Étant donné les propriétés du triangle ABC, on peut écrire la relation entre la génératrice g, le rayon r et la hauteur h comme suitégalité:
g2=h2+ r2
Cette formule est utile pour résoudre de nombreux problèmes géométriques avec la figure en question.
Formule de volume de cône
Le volume de toute figure spatiale est la surface de l'espace, qui est limitée par les surfaces de cette figure. Il existe deux surfaces de ce type pour un cône:
- Latéral ou conique. Il est formé de toutes les génératrices.
- Fondation. Dans ce cas, c'est un cercle.
Obtenez la formule pour déterminer le volume d'un cône. Pour ce faire, nous le coupons mentalement en plusieurs couches parallèles à la base. Chacune des couches a une épaisseur dx, qui tend vers zéro. L'aire Sxde la couche à une distance x du haut de la figure est égale à l'expression suivante:
Sx=pir2x2/h 2
La validité de cette expression peut être vérifiée intuitivement en substituant les valeurs x=0 et x=h. Dans le premier cas, nous obtiendrons une aire égale à zéro, dans le second cas, elle sera égale à l'aire de la base ronde.
Pour déterminer le volume du cône, vous devez additionner de petits "volumes" de chaque couche, c'est-à-dire que vous devez utiliser le calcul intégral:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
En calculant cette intégrale, nous arrivons à la formule finale pour un cône rond:
V=1/3pir2h
Il est intéressant de noter que cette formule est complètement similaire à celle utilisée pour calculer le volume d'une pyramide arbitraire. Cette coïncidence n'est pas fortuite, car toute pyramide devient un cône lorsque le nombre de ses arêtes augmente à l'infini.
Problème de calcul de volume
Il est utile de donner un exemple de résolution du problème, qui démontrera l'utilisation de la formule dérivée pour le volume V.
Soit un cône rond dont l'aire de base est de 37 cm2, et dont la génératrice de la figure est trois fois le rayon. Quel est le volume du cône ?
On a le droit d'utiliser la formule du volume si on connaît deux grandeurs: la hauteur h et le rayon r. Trouvons les formules qui les déterminent en fonction de la condition du problème.
Le rayon r peut être calculé en connaissant l'aire du cercle So, on a:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
En utilisant la condition du problème, on écrit l'égalité pour le générateur g:
g=3r=3√(So/pi)
Connaissant les formules pour r et g, calculez la hauteur h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Nous avons trouvé tous les paramètres nécessaires. Il est maintenant temps de les intégrer à la formule de V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Il reste à substituersurface de base So et calculer la valeur du volume: V=119,75 cm3.
