Dérivation de la formule de l'aire d'un cône. Exemple de solution de problème

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 05:26

L'étude des propriétés des figures spatiales joue un rôle important dans la résolution de problèmes pratiques. La science qui traite des figures dans l'espace s'appelle la stéréométrie. Dans cet article, du point de vue de la géométrie solide, nous allons considérer un cône et montrer comment trouver l'aire d'un cône.

Cône à base ronde

Dans le cas général, un cône est une surface construite sur une courbe plane, dont tous les points sont reliés par des segments avec un point dans l'espace. Ce dernier est appelé le sommet du cône.

D'après la définition ci-dessus, il est clair qu'une courbe peut avoir une forme arbitraire, telle que parabolique, hyperbolique, elliptique, etc. Néanmoins, en pratique et dans les problèmes de géométrie, c'est souvent un cône rond qui est souvent rencontré. Il est montré dans l'image ci-dessous.

Ici le symbole r désigne le rayon du cercle situé à la base de la figure, h est la perpendiculaire au plan du cercle, qui est tracé depuis le haut de la figure. C'est ce qu'on appelle la hauteur. La valeur s est la génératrice du cône, ou sa génératrice.

On peut voir que les segments r, h et sformer un triangle rectangle. S'il est tourné autour de la jambe h, alors l'hypoténuse s décrira la surface conique et la jambe r forme la base ronde de la figure. Pour cette raison, le cône est considéré comme une figure de révolution. Les trois paramètres linéaires nommés sont interconnectés par l'égalité:

s²=r²+ h²

Notez que l'égalité donnée n'est valable que pour un cône droit rond. Une figure droite n'existe que si sa hauteur tombe exactement au centre du cercle de base. Si cette condition n'est pas remplie, la figure est dite oblique. La différence entre les cônes droits et obliques est illustrée dans la figure ci-dessous.

Développement de formes

L'étude de la surface d'un cône est pratique à réaliser, en la considérant sur un plan. Cette manière de représenter la surface des figures dans l'espace s'appelle leur développement. Pour un cône, ce développement peut être obtenu comme suit: vous devez prendre une figure réalisée, par exemple, en papier. Ensuite, avec des ciseaux, coupez la base ronde autour de la circonférence. Après cela, le long de la génératrice, faites une coupe de la surface conique et transformez-la en un plan. Le résultat de ces opérations simples sera le développement du cône, illustré dans la figure ci-dessous.

Comme vous pouvez le voir, la surface d'un cône peut en effet être représentée sur un plan. Il se compose des deux parties suivantes:

• cercle de rayon r représentant la base de la figure;
• secteur circulaire de rayon g, qui est une surface conique.

La formule de l'aire d'un cône consiste à trouver les aires des deux surfaces dépliées.

Calculer la surface d'une figure

Divisons la tâche en deux étapes. On trouve d'abord l'aire de la base du cône, puis l'aire de la surface conique.

La première partie du problème est facile à résoudre. Le rayon r étant donné, il suffit de rappeler l'expression correspondante de l'aire d'un cercle pour calculer l'aire de la base. Écrivons-le:

S_o=pi × r²

Si le rayon n'est pas connu, vous devez d'abord le trouver en utilisant la formule de relation entre celui-ci, la hauteur et le générateur.

La deuxième partie du problème consistant à trouver l'aire d'un cône est un peu plus compliquée. A noter que le secteur circulaire est construit sur le rayon g de la génératrice et est délimité par un arc dont la longueur est égale à la circonférence du cercle. Ce fait vous permet d'écrire la proportion et de trouver l'angle du secteur considéré. Désignons-le par la lettre grecque φ. Cet angle sera égal à:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Connaissant l'angle central φ d'un secteur circulaire, vous pouvez utiliser la proportion appropriée pour trouver son aire. Désignons-le par le symbole S_b. Il sera égal à:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

C'est-à-dire que l'aire de la surface conique correspond au produit de la génératrice g, du rayon de la base r et du nombre Pi.

Savoir quels sont les domaines des deuxsurfaces considérées, on peut écrire la formule finale de l'aire d'un cône:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

L'expression écrite suppose la connaissance de deux paramètres linéaires du cône pour calculer S. Si g ou r est inconnu, alors ils peuvent être trouvés à travers la hauteur h.

Le problème du calcul de l'aire d'un cône

On sait que la hauteur d'un cône droit rond est égale à son diamètre. Il faut calculer l'aire de la figure, sachant que l'aire de sa base est de 50 cm².

Connaissant l'aire d'un cercle, vous pouvez trouver le rayon de la figure. Nous avons:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Déterminons maintenant le générateur g en termes de h et r. Selon la condition, la hauteur h de la figure est égale à deux rayons r, alors:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Les formules trouvées pour g et r doivent être remplacées dans l'expression pour toute la surface du cône. Nous obtenons:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Dans l'expression résultante, nous substituons l'aire de la base S_o et écrivons la réponse: S ≈ 161,8 cm².