Chaque élève a entendu parler d'un cône rond et imagine à quoi ressemble cette figure en trois dimensions. Cet article définit le développement d'un cône, fournit des formules décrivant ses caractéristiques et décrit comment le construire à l'aide d'un compas, d'un rapporteur et d'une règle.
Cône circulaire en géométrie
Donnons une définition géométrique de cette figure. Un cône rond est une surface formée de segments de droite reliant tous les points d'un certain cercle à un seul point dans l'espace. Ce point unique ne doit pas appartenir au plan dans lequel se trouve le cercle. Si nous prenons un cercle au lieu d'un cercle, alors cette méthode conduit également à un cône.
Le cercle est appelé la base de la figure, sa circonférence est la directrice. Les segments reliant le point à la directrice sont appelés génératrices ou génératrices, et le point où ils se coupent est le sommet du cône.
Le cône rond peut être droit et oblique. Les deux chiffres sont présentés dans la figure ci-dessous.
La différence entre eux est la suivante: si la perpendiculaire du haut du cône tombe exactement au centre du cercle, alors le cône sera droit. Pour lui, la perpendiculaire, qu'on appelle la hauteur de la figure, fait partie de son axe. Dans le cas d'un cône oblique, la hauteur et l'axe forment un angle aigu.
En raison de la simplicité et de la symétrie de la figure, nous ne considérerons plus en détail que les propriétés d'un cône droit à base ronde.
Obtenir une forme en utilisant la rotation
Avant de considérer le développement de la surface d'un cône, il est utile de savoir comment cette figure spatiale peut être obtenue par rotation.
Supposons que nous ayons un triangle rectangle avec les côtés a, b, c. Les deux premiers d'entre eux sont des jambes, c est l'hypoténuse. Mettons un triangle sur la jambe a et commençons à le faire pivoter autour de la jambe b. L'hypoténuse c décrira alors une surface conique. Cette technique de cône simple est illustrée dans le diagramme ci-dessous.
Évidemment, la jambe a sera le rayon de la base de la figure, la jambe b sera sa hauteur, et l'hypoténuse c correspond à la génératrice d'un cône droit rond.
Vue du développement du cône
Comme vous pouvez le deviner, le cône est formé de deux types de surfaces. L'un d'eux est un cercle à base plate. Supposons qu'il ait un rayon r. La deuxième surface est latérale et est dite conique. Soit son générateur égal à g.
Si nous avons un cône en papier, nous pouvons prendre des ciseaux et en couper la base. Ensuite, la surface conique doit être coupéele long de n'importe quelle génératrice et déployez-la sur l'avion. De cette manière, nous avons obtenu un développement de la surface latérale du cône. Les deux surfaces, ainsi que le cône d'origine, sont illustrés dans le schéma ci-dessous.
Le cercle de base est représenté en bas à droite. La surface conique dépliée est représentée au centre. Il s'avère qu'il correspond à un secteur circulaire du cercle dont le rayon est égal à la longueur de la génératrice g.
Balayage d'angle et de zone
Nous obtenons maintenant des formules qui, en utilisant les paramètres connus g et r, nous permettent de calculer l'aire et l'angle du cône.
Évidemment, l'arc du secteur circulaire représenté ci-dessus sur la figure a une longueur égale à la circonférence de la base, c'est-à-dire:
l=2pir.
Si le cercle entier de rayon g était construit, alors sa longueur serait:
L=2pig.
Puisque la longueur L correspond à 2pi radians, alors l'angle sur lequel repose l'arc l peut être déterminé à partir de la proportion correspondante:
L==>2pi;
l==> φ.
Alors l'angle inconnu φ sera égal à:
φ=2pil/L.
En remplaçant les expressions des longueurs l et L, on arrive à la formule de l'angle de développement de la surface latérale du cône:
φ=2pir/g.
L'angle φ est ici exprimé en radians.
Pour déterminer l'aire Sb d'un secteur circulaire, nous utiliserons la valeur trouvée de φ. Nous faisons une proportion de plus, uniquement pour les zones. Nous avons:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
D'où exprimer Sb, puis substituer la valeur de l'angle φ. Nous obtenons:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Pour l'aire d'une surface conique, nous avons obtenu une formule assez compacte. La valeur de Sb est égale au produit de trois facteurs: pi, le rayon de la figure et sa génératrice.
Alors l'aire de toute la surface de la figure sera égale à la somme de Sb et So (circulaire aire de base). On obtient la formule:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Construire le balayage d'un cône sur papier
Pour accomplir cette tâche, vous aurez besoin d'une feuille de papier, d'un crayon, d'un rapporteur, d'une règle et d'un compas.
Tout d'abord, dessinons un triangle rectangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. Sa rotation autour de la jambe de 3 cm donnera le cône désiré. La figure a r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
La construction d'un balayage commencera par dessiner un cercle de rayon r avec une boussole. Sa longueur sera égale à 6pi cm Maintenant, à côté, nous allons dessiner un autre cercle, mais avec un rayon g. Sa longueur correspondra à 10pi cm Nous devons maintenant couper un secteur circulaire d'un grand cercle. Son angle φ vaut:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Maintenant, nous mettons de côté cet angle avec un rapporteur sur un cercle de rayon g et dessinons deux rayons qui délimiteront le secteur circulaire.
AlorsAinsi, nous avons construit un développement du cône avec les paramètres spécifiés de rayon, hauteur et génératrice.
Un exemple de résolution d'un problème géométrique
Étant donné un cône droit rond. On sait que l'angle de son balayage latéral est de 120o. Il faut trouver le rayon et la génératrice de cette figure, si l'on sait que la hauteur h du cône est de 10 cm.
La tâche n'est pas difficile si l'on se rappelle qu'un cône rond est une figure de rotation d'un triangle rectangle. De ce triangle découle une relation sans ambiguïté entre la hauteur, le rayon et la génératrice. Écrivons la formule correspondante:
g2=h2+ r2.
La deuxième expression à utiliser lors de la résolution est la formule de l'angle φ:
φ=2pir/g.
Ainsi, nous avons deux équations reliant deux inconnues (r et g).
Exprimez g à partir de la deuxième formule et substituez le résultat dans la première, nous obtenons:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Angle φ=120o en radians est 2pi/3. Nous substituons cette valeur, nous obtenons les formules finales pour r et g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Il reste à substituer la valeur de la taille et à obtenir la réponse à la question problématique: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
