Surface latérale d'un cône régulier et tronqué. Formules et exemple de résolution du problème

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 05:26

Lorsque l'on considère des figures dans l'espace, des problèmes surviennent souvent pour déterminer leur surface. L'une de ces figures est le cône. Considérez dans l'article quelle est la surface latérale d'un cône à base ronde, ainsi que d'un cône tronqué.

Cône à base ronde

Avant de passer à l'examen de la surface latérale du cône, nous allons montrer de quel type de figure il s'agit et comment l'obtenir à l'aide de méthodes géométriques.

Prenez un triangle rectangle ABC, où AB et AC sont des jambes. Mettons ce triangle sur la jambe AC et tournons-le autour de la jambe AB. Par conséquent, les côtés AC et BC décrivent deux surfaces de la figure ci-dessous.

La figure obtenue par rotation s'appelle un cône droit rond. Il est rond parce que sa base est un cercle, et droit parce qu'une perpendiculaire tirée du haut de la figure (point B) coupe le cercle en son centre. La longueur de cette perpendiculaire s'appelle la hauteur. Évidemment, il est égal à la jambe AB. La hauteur est généralement désignée par la lettre h.

Outre la hauteur, le cône considéré est décrit par deux autres caractéristiques linéaires:

• génératrice ou génératrice (hypoténuse BC);
• rayon de base (jambe AC).

Le rayon sera noté par la lettre r, et la génératrice par g. Ensuite, en tenant compte du théorème de Pythagore, nous pouvons écrire l'égalité importante pour la figure considérée:

g²=h²+ r²

Surface conique

La totalité de toutes les génératrices forme une surface conique ou latérale d'un cône. En apparence, il est difficile de dire à quelle figure plate elle correspond. Ce dernier est important à connaître lors de la détermination de l'aire d'une surface conique. Pour résoudre ce problème, la méthode de balayage est utilisée. Elle consiste en ce qui suit: une surface est découpée mentalement selon une génératrice arbitraire, puis elle est dépliée sur un plan. Avec cette méthode d'obtention d'un balayage, la figure plate suivante est formée.

Comme vous pouvez le deviner, le cercle correspond à la base, mais le secteur circulaire est une surface conique, dont la zone nous intéresse. Le secteur est délimité par deux génératrices et un arc. La longueur de ce dernier est exactement égale au périmètre (longueur) de la circonférence de la base. Ces caractéristiques déterminent de manière unique toutes les propriétés du secteur circulaire. Nous ne donnerons pas de calculs mathématiques intermédiaires, mais notons immédiatement la formule finale, à l'aide de laquelle vous pouvez calculer l'aire de la surface latérale du cône. La formule est:

S_b=pigr

L'aire d'une surface conique S_best égale au produit de deux paramètres par Pi.

Cône tronqué et sa surface

Si nous prenons un cône ordinaire et coupons son sommet avec un plan parallèle, la figure restante sera un cône tronqué. Sa surface latérale est limitée par deux bases rondes. Notons leurs rayons R et r. On note la hauteur de la figure par h, et la génératrice par g. Vous trouverez ci-dessous une découpe de papier pour cette figure.

On peut voir que la surface latérale n'est plus un secteur circulaire, sa surface est plus petite, puisque la partie centrale en a été coupée. Le développement est limité à quatre lignes, deux d'entre elles sont des générateurs de segments de droite, les deux autres sont des arcs avec les longueurs des cercles correspondants des bases du tronc de cône.

Surface latérale S_bcalculée comme suit:

S_b=pig(r + R)

Generatrice, rayons et hauteur sont liés par l'égalité suivante:

g²=h²+ (R - r)²

Le problème de l'égalité des aires des figures

Étant donné un cône de 20 cm de haut et de 8 cm de rayon à la base, il faut trouver la hauteur d'un tronc de cône dont la surface latérale aura la même aire que ce cône. La figure tronquée est construite sur la même base, et le rayon de la base supérieure est de 3 cm.

Tout d'abord, notons la condition d'égalité des aires du cône et de la figure tronquée. Nous avons:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Écrivons maintenant les expressions pour les génératrices de chaque forme:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Remplacez g₁ et g₂ dans la formule des aires égales et placez les côtés gauche et droit au carré, nous obtenons:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

Où nous obtenons l'expression pour h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Nous ne simplifierons pas cette égalité, mais substituerons simplement les données connues de la condition:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14,85 cm}

Ainsi, pour égaler les aires des surfaces latérales des figures, le tronc de cône doit avoir les paramètres: R=8 cm, r=3 cm, h₂≈ 14, 85 cm.