Lors de l'étude de la stéréométrie, l'un des principaux sujets est "Cylindre". La surface latérale est considérée, sinon la principale, alors comme une formule importante pour résoudre les problèmes géométriques. Cependant, il est important de se souvenir des définitions qui vous aideront à naviguer dans les exemples et à prouver divers théorèmes.
Concept de cylindre
Nous devons d'abord considérer quelques définitions. Ce n'est qu'après les avoir étudiés que l'on peut commencer à considérer la question de la formule de l'aire de la surface latérale d'un cylindre. Sur la base de cette entrée, d'autres expressions peuvent être calculées.
- Une surface cylindrique est comprise comme un plan décrit par une génératrice, se déplaçant et restant parallèle à une direction donnée, glissant le long d'une courbe existante.
- Il existe également une deuxième définition: une surface cylindrique est formée par un ensemble de droites parallèles coupant une courbe donnée.
- La générative est conventionnellement appelée la hauteur du cylindre. Lorsqu'il se déplace autour d'un axe passant par le centre de la base,le corps géométrique désigné est obtenu.
- Sous l'axe, on entend une ligne droite passant par les deux bases de la figure.
- Un cylindre est un corps stéréométrique délimité par une surface latérale sécante et 2 plans parallèles.
Il existe des variétés de cette figure tridimensionnelle:
- Circulaire est un cylindre dont le guide est un cercle. Ses principales composantes sont le rayon de la base et la génératrice. Ce dernier est égal à la hauteur de la figure.
- Il y a un cylindre droit. Il tire son nom de la perpendicularité de la génératrice aux bases de la figure.
- Le troisième type est un cylindre biseauté. Dans les manuels, vous pouvez également lui trouver un autre nom - "cylindre circulaire à base biseautée". Ce chiffre définit le rayon de la base, les hauteurs minimale et maximale.
- Un cylindre équilatéral est compris comme un corps ayant la même hauteur et le même diamètre d'un plan circulaire.
Symboles
Traditionnellement, les principaux "composants" d'un cylindre sont appelés comme suit:
- Le rayon de la base est R (il remplace également la même valeur d'une figure stéréométrique).
- Génératif – L.
- Hauteur – H.
- Zone de base - Sbase (en d'autres termes, vous devez trouver le paramètre de cercle spécifié).
- Hauteurs des cylindres biseautés – h1, h2 (minimum et maximum).
- Side surface - Sside (si vous l'agrandissez, vous obtenezune sorte de rectangle).
- Le volume d'une figure stéréométrique - V.
- Superficie totale – S.
"Composants" d'une figure stéréométrique
Lors de l'étude d'un cylindre, la surface latérale joue un rôle important. Cela est dû au fait que cette formule est incluse dans plusieurs autres, plus complexes. Par conséquent, il est nécessaire de bien connaître la théorie.
Les principaux composants de la figure sont:
- Surface latérale. Comme vous le savez, il est obtenu grâce au mouvement de la génératrice le long d'une courbe donnée.
- La surface complète inclut les bases existantes et le plan latéral.
- La section d'un cylindre, en règle générale, est un rectangle situé parallèlement à l'axe de la figure. Sinon, cela s'appelle un avion. Il s'avère que la longueur et la largeur sont des composantes à temps partiel d'autres figures. Donc, conditionnellement, les longueurs de la section sont des génératrices. Largeur - accords parallèles d'une figure stéréométrique.
- La section axiale signifie l'emplacement du plan passant par le centre du corps.
- Et enfin, la définition finale. Une tangente est un plan passant par la génératrice du cylindre et perpendiculaire à la section axiale. Dans ce cas, une condition doit être remplie. La génératrice spécifiée doit être incluse dans le plan de la section axiale.
Formules de base pour travailler avec un cylindre
Afin de répondre à la question de savoir comment trouver la surface d'un cylindre, il est nécessaire d'étudier les principaux "composants" d'une figure stéréométrique et les formules pour les trouver.
Ces formules diffèrent en ce que d'abord les expressions pour le cylindre biseauté sont données, puis pour le cylindre droit.
Exemples déconstruits
Tâche 1.
Il est nécessaire de connaître l'aire de la surface latérale du cylindre. La diagonale de la section AC=8 cm est donnée (de plus, elle est axiale). Au contact de la génératrice, il s'avère <ACD=30°
Décision. Puisque les valeurs de la diagonale et de l'angle sont connues, alors dans ce cas:
CD=ACcos 30°
Commentaire. Le triangle ACD, dans cet exemple particulier, est un triangle rectangle. Cela signifie que le quotient de la division de CD et AC=le cosinus de l'angle donné. La valeur des fonctions trigonométriques peut être trouvée dans un tableau spécial.
De même, vous pouvez trouver la valeur de AD:
AD=ACsin 30°
Vous devez maintenant calculer le résultat souhaité en utilisant la formulation suivante: l'aire de la surface latérale du cylindre est égale à deux fois le résultat de la multiplication de "pi", le rayon de la figure et sa hauteur. Une autre formule doit également être utilisée: l'aire de la base du cylindre. Il est égal au résultat de la multiplication de "pi" par le carré du rayon. Et enfin, la dernière formule: surface totale. Il est égal à la somme des deux zones précédentes.
Tâche 2.
Les cylindres sont donnés. Leur volume=128n cm³. Quel cylindre a le plus petitpleine surface ?
Décision. Vous devez d'abord utiliser les formules pour trouver le volume d'une figure et sa hauteur.
Puisque la surface totale d'un cylindre est connue de la théorie, sa formule doit être appliquée.
Si nous considérons la formule résultante en fonction de la surface du cylindre, alors "l'indicateur" minimum sera atteint au point extrême. Pour obtenir la dernière valeur, vous devez utiliser la différenciation.
Les formules peuvent être visualisées dans un tableau spécial pour trouver des dérivées. À l'avenir, le résultat trouvé est égal à zéro et la solution de l'équation est trouvée.
Réponse: Smin sera atteint à h=1/32 cm, R=64 cm.
Problème 3.
Étant donné une figure stéréométrique - un cylindre et une section. Ce dernier est réalisé de telle sorte qu'il soit situé parallèlement à l'axe du corps stéréométrique. Le cylindre a les paramètres suivants: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. Il faut trouver la distance entre la section et l'axe.
Décision.
Étant donné que la section transversale d'un cylindre est comprise comme étant VSCM, c'est-à-dire un rectangle, son côté VM=h. Le WMC doit être pris en compte. Le triangle est rectangulaire. Sur la base de cette déclaration, nous pouvons déduire l'hypothèse correcte que MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
De là, nous pouvons conclure que MK=BC=8 cm.
L'étape suivante consiste à dessiner une section à travers la base de la figure. Il est nécessaire de considérer le plan résultant.
AD – diamètre d'une figure stéréométrique. Il est parallèle à la section mentionnée dans l'énoncé du problème.
BC est une droite située sur le plan du rectangle existant.
ABCD est un trapèze. Dans un cas particulier, il est considéré comme isocèle, puisqu'un cercle est décrit autour de lui.
Si vous trouvez la hauteur du trapèze résultant, vous pouvez obtenir la réponse donnée au début du problème. À savoir: trouver la distance entre l'axe et la section dessinée.
Pour ce faire, vous devez trouver les valeurs de AD et OS.
Réponse: la section est située à 3 cm de l'axe.
Problèmes pour consolider le matériel
Exemple 1.
Cylindre donné. La surface latérale est utilisée dans la solution ultérieure. D'autres options sont connues. L'aire de la base est Q, l'aire de la section axiale est M. Il faut trouver S. Autrement dit, l'aire totale du cylindre.
Exemple 2.
Cylindre donné. La surface latérale doit être trouvée dans une des étapes de résolution du problème. On sait que hauteur=4 cm, rayon=2 cm. Il faut trouver l'aire totale d'une figure stéréométrique.
