Le problème de Goldbach est l'un des problèmes les plus anciens et les plus médiatisés de l'histoire de toutes les mathématiques.
Cette conjecture s'est avérée vraie pour tous les entiers inférieurs à 4 × 1018, mais reste non prouvée malgré les efforts considérables des mathématiciens.
Numéro
Le nombre de Goldbach est un entier positif pair qui est la somme d'une paire de nombres premiers impairs. Une autre forme de la conjecture de Goldbach est que tous les nombres entiers pairs supérieurs à quatre sont des nombres de Goldbach.
La séparation de tels nombres est appelée partition de Goldbach (ou partition). Vous trouverez ci-dessous des exemples de sections similaires pour certains nombres pairs:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Découverte de l'hypothèse
Goldbach avait un collègue nommé Euler, qui aimait compter, écrire des formules complexes et proposer des théories insolubles. En cela, ils ressemblaient à Goldbach. Euler a fait une énigme mathématique similaire avant même Goldbach, avec qui ilcorrespondance constante. Il proposa alors une seconde suggestion en marge de son manuscrit, selon laquelle un entier supérieur à 2 pourrait s'écrire comme la somme de trois nombres premiers. Il considérait 1 comme un nombre premier.
Les deux hypothèses sont maintenant connues pour être similaires, mais cela ne semblait pas être un problème à l'époque. La version moderne du problème de Goldbach stipule que tout entier supérieur à 5 peut être écrit comme la somme de trois nombres premiers. Euler répondit dans une lettre datée du 30 juin 1742 et rappela à Goldbach une conversation antérieure qu'ils avaient eue ("… nous parlons donc de l'hypothèse originale (et non marginale) découlant de la déclaration suivante").
Problème d'Euler-Goldbach
2 et ses nombres pairs peuvent être écrits comme la somme de deux nombres premiers, ce qui est aussi la conjecture de Goldbach. Dans une lettre datée du 30 juin 1742, Euler déclare que tout nombre entier pair est le résultat de l'addition de deux nombres premiers, ce qu'il considère comme un théorème bien défini, bien qu'il ne puisse pas le prouver.
Troisième version
La troisième version du problème de Goldbach (équivalente aux deux autres versions) est la forme sous laquelle la conjecture est généralement donnée aujourd'hui. Elle est également connue sous le nom de conjecture de Goldbach "forte", "paire" ou "binaire" pour la distinguer de l'hypothèse plus faible connue aujourd'hui sous le nom de conjecture de Goldbach "faible", "impaire" ou "ternaire". La conjecture faible stipule que tous les nombres impairs supérieurs à 7 sont la somme de trois nombres premiers impairs. La conjecture faible a été prouvée en 2013. L'hypothèse faible estconséquence d'une hypothèse forte. Le corollaire inverse et la forte conjecture de Goldbach restent non prouvés à ce jour.
Vérifier
Pour les petites valeurs de n, le problème de Goldbach (et donc la conjecture de Goldbach) peut être vérifié. Par exemple, Nils Pipping en 1938 a soigneusement testé l'hypothèse jusqu'à n ≦ 105. Avec l'avènement des premiers ordinateurs, beaucoup plus de valeurs de n ont été calculées.
Oliveira Silva a effectué une recherche informatique distribuée qui a confirmé l'hypothèse pour n ≦ 4 × 1018 (et revérifié jusqu'à 4 × 1017) à partir de 2013. Une entrée de cette recherche est que 3 325 581 707 333 960 528 est le plus petit nombre qui n'a pas de division Goldbach avec un nombre premier inférieur à 9781.
Heuristique
La version pour la forme forte de la conjecture de Goldbach est la suivante: puisque la quantité tend vers l'infini lorsque n augmente, nous nous attendons à ce que chaque grand entier pair ait plus d'une représentation comme la somme de deux nombres premiers. Mais en fait, il y a beaucoup de telles représentations. Qui a résolu le problème de Goldbach ? Hélas, toujours personne.
Cet argument heuristique est en fait quelque peu imprécis, car il suppose que m est statistiquement indépendant de n. Par exemple, si m est impair, alors n - m est aussi impair, et si m est pair, alors n - m est pair, et c'est une relation non triviale (complexe), car à part le nombre 2, seul impair les nombres peuvent être premiers. De même, si n est divisible par 3 et m était déjà un premier autre que 3, alors n - m est aussi mutuellementpremier avec 3, donc plus susceptible d'être un nombre premier par opposition à un nombre total. En effectuant ce type d'analyse avec plus de soin, Hardy et Littlewood en 1923, dans le cadre de leur célèbre conjecture de tuple simple de Hardy-Littlewood, ont fait le raffinement ci-dessus de toute la théorie. Mais cela n'a pas aidé à résoudre le problème jusqu'à présent.
Hypothèse forte
La conjecture forte de Goldbach est beaucoup plus compliquée que la conjecture faible de Goldbach. Shnirelman a prouvé plus tard que tout nombre naturel supérieur à 1 peut être écrit comme la somme d'au plus C nombres premiers, où C est une constante effectivement calculable. De nombreux mathématiciens ont essayé de le résoudre, comptant et multipliant des nombres, proposant des formules complexes, etc. Mais ils n'ont jamais réussi, car l'hypothèse est trop compliquée. Aucune formule n'a aidé.
Mais cela vaut la peine de s'éloigner un peu de la question de prouver le problème de Goldbach. La constante de Shnirelman est le plus petit nombre C avec cette propriété. Shnirelman lui-même a obtenu C <800 000. Ce résultat a ensuite été complété par de nombreux auteurs, comme Olivier Ramaret, qui a montré en 1995 que tout nombre pair n ≧ 4 est en fait la somme d'au plus six nombres premiers. Le résultat le plus célèbre actuellement associé à la théorie de Goldbach par Harald Helfgott.
Développement ultérieur
En 1924, Hardy et Littlewood assumèrent G. R. H. a montré que le nombre de nombres pairs jusqu'à X, violant le problème binaire de Goldbach, est beaucoup plus petit que pour les petits c.
En 1973 Chen JingyunJ'ai essayé de résoudre ce problème, mais cela n'a pas fonctionné. Il était également mathématicien, il aimait donc beaucoup résoudre des énigmes et prouver des théorèmes.
En 1975, deux mathématiciens américains ont montré qu'il existe des constantes positives c et C - celles pour lesquelles N est suffisamment grand. En particulier, l'ensemble des entiers pairs a une densité nulle. Tout cela a été utile pour les travaux sur la solution du problème ternaire de Goldbach, qui auront lieu dans le futur.
En 1951, Linnik a prouvé l'existence d'une constante K telle que tout nombre pair suffisamment grand est le résultat de l'addition d'un nombre premier et d'un autre nombre premier l'un à l'autre. Roger Heath-Brown et Jan-Christoph Schlage-Puchta ont découvert en 2002 que K=13 fonctionne. C'est très intéressant pour tous ceux qui aiment additionner les uns aux autres, additionner différents nombres et voir ce qui se passe.
Résolution du problème de Goldbach
Comme pour de nombreuses conjectures bien connues en mathématiques, il existe un certain nombre de preuves présumées de la conjecture de Goldbach, dont aucune n'est acceptée par la communauté mathématique.
Bien que la conjecture de Goldbach implique que tout entier positif supérieur à un peut être écrit comme la somme d'au plus trois nombres premiers, il n'est pas toujours possible de trouver une telle somme en utilisant un algorithme glouton qui utilise le plus grand nombre premier possible à chaque étape. La séquence de Pillai garde une trace des nombres nécessitant le plus de nombres premiers dans leurs représentations gourmandes. Par conséquent, la solution du problème de Goldbachencore en question. Néanmoins, tôt ou tard, il sera très probablement résolu.
Il existe des théories similaires au problème de Goldbach dans lesquelles les nombres premiers sont remplacés par d'autres ensembles spécifiques de nombres, tels que des carrés.
Christian Goldbach
Christian Goldbach était un mathématicien allemand qui a également étudié le droit. On se souvient de lui aujourd'hui pour la conjecture de Goldbach.
Il a travaillé comme mathématicien toute sa vie - il aimait beaucoup ajouter des nombres, inventer de nouvelles formules. Il connaissait également plusieurs langues, dans chacune desquelles il tenait son journal personnel. Ces langues étaient l'allemand, le français, l'italien et le russe. De plus, selon certaines sources, il parlait anglais et latin. Il était connu comme un mathématicien assez connu de son vivant. Goldbach était également très lié à la Russie, car il avait de nombreux collègues russes et la faveur personnelle de la famille royale.
Il a continué à travailler à la nouvelle Académie des sciences de Saint-Pétersbourg en 1725 en tant que professeur de mathématiques et historien de l'académie. En 1728, lorsque Pierre II devint tsar de Russie, Goldbach devint son mentor. En 1742, il entre au ministère russe des Affaires étrangères. Autrement dit, il a effectivement travaillé dans notre pays. À cette époque, de nombreux scientifiques, écrivains, philosophes et militaires sont venus en Russie, car la Russie à cette époque était un pays d'opportunités comme l'Amérique. Beaucoup y ont fait carrière. Et notre héros ne fait pas exception.
Christian Goldbach était polyglotte - il écrivait un journal en allemand et en latin, ses lettresétaient écrits en allemand, latin, français et italien, et pour les documents officiels, il utilisait le russe, l'allemand et le latin.
Il est mort le 20 novembre 1764 à l'âge de 74 ans à Moscou. Le jour où le problème de Goldbach sera résolu sera un hommage mérité à sa mémoire.
Conclusion
Goldbach était un grand mathématicien qui nous a livré l'un des plus grands mystères de cette science. On ne sait pas s'il sera un jour résolu ou non. On sait seulement que sa résolution supposée, comme dans le cas du théorème de Fermat, ouvrira de nouvelles perspectives pour les mathématiques. Les mathématiciens aiment beaucoup le résoudre et l'analyser. C'est très intéressant et curieux d'un point de vue heuristique. Même les étudiants en mathématiques aiment résoudre le problème de Goldbach. Sinon comment? Après tout, les jeunes sont constamment attirés par tout ce qui est brillant, ambitieux et non résolu, car en surmontant les difficultés, on peut s'affirmer. Espérons que bientôt ce problème sera résolu par des esprits jeunes, ambitieux et curieux.
