Qu'est-ce que c'est - un cône ? Définition, propriétés, formules et un exemple de résolution du problème

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

Un cône est une des figures spatiales de rotation dont les caractéristiques et les propriétés sont étudiées par stéréométrie. Dans cet article, nous définirons cette figure et examinerons les formules de base reliant les paramètres linéaires d'un cône à sa surface et à son volume.

Qu'est-ce qu'un cône ?

Du point de vue de la géométrie, nous parlons d'une figure spatiale, qui est formée par un ensemble de segments droits reliant un certain point de l'espace à tous les points d'une courbe plate et lisse. Cette courbe peut être un cercle ou une ellipse. La figure ci-dessous montre un cône.

La figure présentée n'a pas de volume, puisque les parois de sa surface ont une épaisseur infinitésimale. Cependant, s'il est rempli d'une substance et délimité par le haut non pas par une courbe, mais par une figure plate, par exemple un cercle, nous obtiendrons un corps volumétrique solide, également communément appelé cône.

La forme d'un cône se retrouve souvent dans la vie. Ainsi, il a un cornet de crème glacée ou des cônes de signalisation rayés noirs et orange qui sont placés sur la chaussée pour attirer l'attention des usagers de la route.

Éléments d'un cône et ses types

Comme le cône n'est pas un polyèdre, le nombre d'éléments qui le composent n'est pas aussi grand que pour les polyèdres. En géométrie, un cône général est constitué des éléments suivants:

• base, dont la courbe englobante est appelée directrice ou génératrice;
• de la surface latérale, qui est l'ensemble de tous les points des segments de droite (génératrices) reliant le sommet et les points de la courbe guide;
• vertex, qui est le point d'intersection des génératrices.

Notez que le sommet ne doit pas se trouver dans le plan de la base, car dans ce cas le cône dégénère en une figure plate.

Si nous dessinons un segment perpendiculaire du haut vers la base, nous obtiendrons la hauteur de la figure. Si la dernière base se croise au centre géométrique, alors c'est un cône droit. Si la perpendiculaire ne coïncide pas avec le centre géométrique de la base, la figure sera inclinée.

Les cônes droits et obliques sont représentés sur la figure. Ici, la hauteur et le rayon de la base du cône sont respectivement notés h et r. La ligne qui relie le haut de la figure et le centre géométrique de la base est l'axe du cône. On peut voir sur la figure que pour une figure droite, la hauteur se trouve sur cet axe, et pour une figure inclinée, la hauteur forme un angle avec l'axe. L'axe du cône est indiqué par la lettre a.

Cône droit à base ronde

Peut-être, ce cône est le plus courant de la classe de figures considérée. Il se compose d'un cercle et d'un côtésurfaces. Il n'est pas difficile de l'obtenir par des méthodes géométriques. Pour ce faire, prenez un triangle rectangle et faites-le pivoter autour d'un axe coïncidant avec l'une des jambes. Évidemment, cette jambe deviendra la hauteur de la figure, et la longueur de la deuxième jambe du triangle forme le rayon de la base du cône. Le schéma ci-dessous illustre le schéma décrit pour obtenir le chiffre de rotation en question.

Le triangle représenté peut être tourné autour d'une autre jambe, ce qui se traduira par un cône avec un rayon de base plus grand et une hauteur inférieure à celle du premier.

Pour déterminer sans ambiguïté tous les paramètres d'un cône droit rond, il faut connaître deux de ses caractéristiques linéaires. Parmi eux, on distingue le rayon r, la hauteur h ou la longueur de la génératrice g. Toutes ces grandeurs sont les longueurs des côtés du triangle rectangle considéré, donc le théorème de Pythagore est valable pour leur connexion:

g²=r²+ h^2.

Superficie

Lors de l'étude de la surface d'une figure tridimensionnelle, il est pratique d'utiliser son développement sur un plan. Le cône ne fait pas exception. Pour un cône rond, le développement est illustré ci-dessous.

On voit que le déroulement de la figure se compose de deux parties:

1. Le cercle qui forme la base du cône.
2. Le secteur du cercle, qui est la surface conique de la figure.

L'aire d'un cercle est facile à trouver et la formule correspondante est connue de tous les élèves. Parlant du secteur circulaire, nous remarquons qu'ilfait partie d'un cercle de rayon g (la longueur de la génératrice du cône). La longueur de l'arc de ce secteur est égale à la circonférence de la base. Ces paramètres permettent de déterminer sans ambiguïté son aire. La formule correspondante est:

S=pir2+ pirg.

Les premier et deuxième termes de l'expression sont respectivement le cône de la base et la surface latérale de l'aire.

Si la longueur du générateur g est inconnue, mais que la hauteur h de la figure est donnée, alors la formule peut être réécrite comme suit:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Le volume de la figure

Si nous prenons une pyramide droite et augmentons le nombre de côtés de sa base à l'infini, alors la forme de la base tendra vers un cercle, et la surface latérale de la pyramide se rapprochera de la surface conique. Ces considérations nous permettent d'utiliser la formule du volume d'une pyramide lors du calcul d'une valeur similaire pour un cône. Le volume d'un cône peut être trouvé en utilisant la formule:

V=1/3hS_o.

Cette formule est toujours vraie, quelle que soit la base du cône, ayant une aire S_{o. De plus, la formule s'applique également au cône oblique.}

Puisque nous étudions les propriétés d'une figure droite à base ronde, nous pouvons utiliser l'expression suivante pour déterminer son volume:

V=1/3hpir2.

La formule est évidente.

Le problème de trouver la surface et le volume

Donnons un cône dont le rayon est de 10 cm et la longueur de la génératrice est de 20voir Nécessité de déterminer le volume et la surface de cette forme.

Pour calculer l'aire S, vous pouvez immédiatement utiliser la formule écrite ci-dessus. Nous avons:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Pour déterminer le volume, vous devez connaître la hauteur h de la figure. Nous le calculons en utilisant la relation entre les paramètres linéaires du cône. Nous obtenons:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Vous pouvez maintenant utiliser la formule pour V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Notez que le volume d'un cône rond est égal au tiers du cylindre dans lequel il est inscrit.