L'étude quantitative de la dynamique et de la cinématique du mouvement de rotation nécessite la connaissance du moment d'inertie d'un point matériel et d'un corps rigide par rapport à l'axe de rotation. Nous examinerons dans l'article de quel paramètre nous parlons et donnerons également une formule pour le déterminer.
Informations générales sur la quantité physique
D'abord, définissons le moment d'inertie d'un point matériel et d'un corps rigide, puis montrons comment il doit être utilisé pour résoudre des problèmes pratiques.
Sous la caractéristique physique indiquée pour un point de masse m, qui tourne autour de l'axe à une distance r, on entend la valeur suivante:
I=mr².
D'où il s'ensuit que l'unité de mesure du paramètre étudié est le kilogramme par mètre carré (kgm²).
Si, au lieu d'un point autour d'un axe, un corps de forme complexe tourne, qui a une distribution arbitraire de masse à l'intérieur de lui-même, alors son moment d'inertie est déterminédonc:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Où ρ est la densité du corps. En utilisant la formule intégrale, vous pouvez déterminer la valeur de I pour absolument n'importe quel système de rotation.
Le moment d'inertie a exactement la même signification pour la rotation que la masse pour le mouvement de translation. Par exemple, tout le monde sait qu'il est plus facile de faire pivoter un balai à franges autour d'un axe passant par son manche que perpendiculairement. Cela est dû au fait que le moment d'inertie dans le premier cas est beaucoup plus faible que dans le second.
I valeur pour les corps de différentes formes
Lors de la résolution de problèmes de physique pour la rotation, il est souvent nécessaire de connaître le moment d'inertie d'un corps d'une forme géométrique spécifique, par exemple, pour un cylindre, une boule ou une tige. Si nous appliquons la formule écrite ci-dessus pour I, alors il est facile d'obtenir l'expression correspondante pour tous les corps marqués. Voici les formules pour certains d'entre eux:
tige: je=1 / 12ML²;
cylindre: I=1 / 2MR²;
sphère: I=2 / 5MR².
Ici je suis donné pour l'axe de rotation, qui passe par le centre de masse du corps. Dans le cas d'un cylindre, l'axe est parallèle à la génératrice de la figure. Le moment d'inertie pour d'autres corps géométriques et les options pour l'emplacement des axes de rotation peuvent être trouvés dans les tableaux correspondants. Notez que pour déterminer I différentes figures, il suffit de connaître un seul paramètre géométrique et la masse du corps.
Théorème et formule de Steiner
Le moment d'inertie peut être déterminé si l'axe de rotation est situé à une certaine distance du corps. Pour ce faire, vous devez connaître la longueur de ce segment et la valeur IOdu corps par rapport à l'axe passant par le centre de sa masse, qui doit être parallèle à celui sous considération. L'établissement d'une connexion entre le paramètre IO et la valeur inconnue I est fixé dans le théorème de Steiner. Le moment d'inertie d'un point matériel et d'un corps rigide s'écrit mathématiquement comme suit:
I=IO+ Mh2.
Ici M est la masse du corps, h est la distance du centre de masse à l'axe de rotation, par rapport à laquelle il faut calculer I. Cette expression est facile à obtenir par vous-même si vous utilisez la formule intégrale pour I et tenez compte du fait que tous les points du corps sont à des distances r=r0 + h.
Le théorème de Steiner simplifie grandement la définition de I pour de nombreuses situations pratiques. Par exemple, si vous avez besoin de trouver I pour une tige de longueur L et de masse M par rapport à un axe passant par son extrémité, alors appliquer le théorème de Steiner permet d'écrire:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Vous pouvez vous référer au tableau correspondant et voir qu'il contient exactement cette formule pour une tige mince avec un axe de rotation à son extrémité.
Équation des moments
Dans la physique de la rotation, il existe une formule appelée l'équation des moments. Il ressemble à ceci:
M=Jeα.
Ici M est le moment de force, α est l'accélération angulaire. Comme vous pouvez le voir, le moment d'inertie d'un point matériel et d'un corps rigide et le moment de force sont linéairement liés l'un à l'autre. La valeur M détermine la possibilité qu'une certaine force F crée un mouvement de rotation avec une accélération α dans le système. Pour calculer M, utilisez l'expression simple suivante:
M=Fd.
Où d est l'épaule du moment, qui est égale à la distance entre le vecteur de force F et l'axe de rotation. Plus le bras d est petit, moins la force aura la capacité de créer une rotation du système.
L'équation des moments dans sa signification est parfaitement cohérente avec la deuxième loi de Newton. Dans ce cas, I joue le rôle de la masse d'inertie.
Exemple de résolution de problème
Imaginons un système qui est un cylindre fixé sur un axe vertical avec une tige horizontale en apesanteur. On sait que l'axe de rotation et l'axe principal du cylindre sont parallèles l'un à l'autre et que la distance entre eux est de 30 cm. La masse du cylindre est de 1 kg et son rayon est de 5 cm. Une force de 10 N tangente à la trajectoire de rotation agit sur la figure dont le vecteur passe par l'axe principal du cylindre. Il est nécessaire de déterminer l'accélération angulaire de la figure, que cette force provoquera.
Premièrement, calculons le moment d'inertie du cylindre I. Pour cela, appliquez le théorème de Steiner, nous avons:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210.05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Avant d'utiliser l'équation des moments, vous devezdéterminer le moment de force M. Dans ce cas, on a:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Vous pouvez maintenant déterminer l'accélération:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
L'accélération angulaire calculée indique que chaque seconde la vitesse du cylindre augmentera de 5,2 tours par seconde.
