À en juger par la popularité de la demande "Théorème de Fermat - une courte preuve", ce problème mathématique intéresse vraiment beaucoup. Ce théorème a été énoncé pour la première fois par Pierre de Fermat en 1637 sur le bord d'un exemplaire d'Arithmétique, où il affirmait avoir une solution trop grande pour tenir sur le bord.
La première preuve réussie a été publiée en 1995 - c'était la preuve complète du théorème de Fermat par Andrew Wiles. Il a été décrit comme un "progrès fulgurant" et a conduit Wiles à recevoir le prix Abel en 2016. Bien que décrite relativement brièvement, la preuve du théorème de Fermat a également prouvé une grande partie du théorème de modularité et ouvert de nouvelles approches à de nombreux autres problèmes et méthodes efficaces pour lever la modularité. Ces réalisations ont fait avancer les mathématiques 100 ans dans le futur. La preuve du petit théorème de Fermat aujourd'hui n'est pasest quelque chose qui sort de l'ordinaire.
Le problème non résolu a stimulé le développement de la théorie algébrique des nombres au 19ème siècle et la recherche d'une preuve du théorème de modularité au 20ème siècle. C'est l'un des théorèmes les plus remarquables de l'histoire des mathématiques, et jusqu'à la preuve de division complète du dernier théorème de Fermat, il figurait dans le livre Guinness des records comme "le problème mathématique le plus difficile", dont l'une des caractéristiques est que il a le plus grand nombre de preuves infructueuses.
Contexte historique
Équation de Pythagore x2 + y2=z2 a un nombre infini de nombres positifs solutions entières pour x, y et z. Ces solutions sont connues sous le nom de trinités pythagoriciennes. Vers 1637, Fermat écrit sur la tranche du livre que l'équation plus générale a + b =cn'a pas solutions en nombres naturels si n est un entier supérieur à 2. Bien que Fermat lui-même ait prétendu avoir une solution à son problème, il n'a laissé aucun détail sur sa preuve. La preuve élémentaire du théorème de Fermat, revendiquée par son créateur, était plutôt son invention vantarde. Le livre du grand mathématicien français a été découvert 30 ans après sa mort. Cette équation, appelée dernier théorème de Fermat, est restée non résolue en mathématiques pendant trois siècles et demi.
Le théorème est finalement devenu l'un des problèmes non résolus les plus notables en mathématiques. Les tentatives de prouver cela ont provoqué un développement significatif de la théorie des nombres, et avec le passagetemps, le dernier théorème de Fermat est devenu connu comme un problème non résolu en mathématiques.
Un bref historique des preuves
Si n=4, comme l'a prouvé Fermat lui-même, il suffit de prouver le théorème pour les indices n qui sont des nombres premiers. Au cours des deux siècles suivants (1637-1839), la conjecture n'a été prouvée que pour les nombres premiers 3, 5 et 7, bien que Sophie Germain ait mis à jour et prouvé une approche qui s'appliquait à toute la classe des nombres premiers. Au milieu du XIXe siècle, Ernst Kummer a étendu cela et a prouvé le théorème pour tous les nombres premiers réguliers, selon lequel les nombres premiers irréguliers étaient analysés individuellement. Sur la base des travaux de Kummer et en utilisant des recherches informatiques sophistiquées, d'autres mathématiciens ont pu étendre la solution du théorème, dans le but de couvrir tous les principaux exposants jusqu'à quatre millions, mais la preuve pour tous les exposants n'était toujours pas disponible (ce qui signifie que les mathématiciens généralement considérée comme la solution du théorème impossible, extrêmement difficile ou inaccessible avec les connaissances actuelles).
Le travail de Shimura et Taniyama
En 1955, les mathématiciens japonais Goro Shimura et Yutaka Taniyama soupçonnaient qu'il existait un lien entre les courbes elliptiques et les formes modulaires, deux branches très différentes des mathématiques. Connue à l'époque sous le nom de conjecture de Taniyama-Shimura-Weyl et (en fin de compte) sous le nom de théorème de modularité, elle existait par elle-même, sans lien apparent avec le dernier théorème de Fermat. Il lui-même était largement considéré comme un théorème mathématique important, mais il était considéré (comme le théorème de Fermat) comme impossible à prouver. À ceDans le même temps, la preuve du dernier théorème de Fermat (en divisant et en appliquant des formules mathématiques complexes) n'a été réalisée qu'un demi-siècle plus tard.
En 1984, Gerhard Frey a remarqué un lien évident entre ces deux problèmes auparavant non liés et non résolus. Une confirmation complète que les deux théorèmes étaient étroitement liés a été publiée en 1986 par Ken Ribet, qui s'est basé sur une preuve partielle de Jean-Pierre Serra, qui a prouvé tout sauf une partie, connue sous le nom d '"hypothèse epsilon". En termes simples, ces travaux de Frey, Serra et Ribe ont montré que si le théorème de modularité pouvait être prouvé, au moins pour une classe semi-stable de courbes elliptiques, alors la preuve du dernier théorème de Fermat serait également découverte tôt ou tard. Toute solution qui peut contredire le dernier théorème de Fermat peut également être utilisée pour contredire le théorème de modularité. Par conséquent, si le théorème de modularité s'est avéré vrai, alors, par définition, il ne peut y avoir de solution qui contredit le dernier théorème de Fermat, ce qui signifie qu'il aurait dû être prouvé bientôt.
Bien que les deux théorèmes aient été des problèmes difficiles en mathématiques, considérés comme insolubles, le travail des deux Japonais a été la première suggestion sur la façon dont le dernier théorème de Fermat pourrait être étendu et prouvé pour tous les nombres, pas seulement certains. Important pour les chercheurs qui ont choisi le sujet d'étude était le fait que, contrairement au dernier théorème de Fermat, le théorème de modularité était le principal domaine de recherche actif, pour lequeldes preuves ont été développées, et pas seulement des bizarreries historiques, de sorte que le temps consacré à son travail pourrait être justifié d'un point de vue professionnel. Cependant, le consensus général était que la résolution de la conjecture de Taniyama-Shimura s'est avérée inappropriée.
Dernier théorème de Farm: preuve de Wiles
Ayant appris que Ribet avait prouvé que la théorie de Frey était correcte, le mathématicien anglais Andrew Wiles, qui s'est intéressé au dernier théorème de Fermat depuis son enfance et a travaillé avec des courbes elliptiques et des domaines adjacents, a décidé d'essayer de prouver le Taniyama-Shimura La conjecture comme moyen de prouver le dernier théorème de Fermat. En 1993, six ans après avoir annoncé son objectif, alors qu'il travaillait secrètement sur le problème de la résolution du théorème, Wiles a réussi à prouver une conjecture connexe, qui à son tour l'aiderait à prouver le dernier théorème de Fermat. Le document de Wiles était énorme en taille et en portée.
Une faille a été découverte dans une partie de son article original lors de l'examen par les pairs et a nécessité une autre année de collaboration avec Richard Taylor pour résoudre conjointement le théorème. En conséquence, la preuve finale de Wiles du dernier théorème de Fermat n'a pas tardé à venir. En 1995, il a été publié à une échelle beaucoup plus petite que les travaux mathématiques précédents de Wiles, illustrant qu'il ne s'était pas trompé dans ses conclusions précédentes sur la possibilité de prouver le théorème. La réalisation de Wiles a été largement diffusée dans la presse populaire et popularisée dans les livres et les programmes télévisés. Les parties restantes de la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil, qui ont maintenant été prouvées etconnus sous le nom de théorème de modularité, ont ensuite été prouvés par d'autres mathématiciens qui se sont appuyés sur les travaux de Wiles entre 1996 et 2001. Pour ses réalisations, Wiles a été honoré et a reçu de nombreux prix, dont le prix Abel 2016.
La preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat est un cas particulier de résolution du théorème de modularité pour les courbes elliptiques. Cependant, c'est le cas le plus célèbre d'une telle opération mathématique à grande échelle. En plus de résoudre le théorème de Ribe, le mathématicien britannique a également obtenu une preuve du dernier théorème de Fermat. Le dernier théorème de Fermat et le théorème de modularité étaient presque universellement considérés comme indémontrables par les mathématiciens modernes, mais Andrew Wiles a pu prouver au monde scientifique que même les experts peuvent se tromper.
Wyles a annoncé sa découverte pour la première fois le mercredi 23 juin 1993 lors d'une conférence à Cambridge intitulée "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". Cependant, en septembre 1993, il a été constaté que ses calculs contenaient une erreur. Un an plus tard, le 19 septembre 1994, dans ce qu'il appellerait "le moment le plus important de sa vie professionnelle", Wiles tomba sur une révélation qui lui permit de fixer la solution du problème au point où elle pouvait satisfaire les mathématiques. communauté.
Description du travail
La preuve du théorème de Fermat par Andrew Wiles utilise de nombreuses méthodes issues de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres et a de nombreuses ramifications dans celles-cidomaines des mathématiques. Il utilise également les constructions standard de la géométrie algébrique moderne, telles que la catégorie des schémas et la théorie d'Iwasawa, ainsi que d'autres méthodes du XXe siècle qui n'étaient pas à la disposition de Pierre de Fermat.
Les deux articles contenant les preuves font 129 pages et ont été rédigés en sept ans. John Coates a décrit cette découverte comme l'une des plus grandes réalisations de la théorie des nombres, et John Conway l'a qualifiée de réalisation mathématique majeure du XXe siècle. Wiles, afin de prouver le dernier théorème de Fermat en prouvant le théorème de modularité pour le cas particulier des courbes elliptiques semi-stables, a développé des méthodes puissantes pour lever la modularité et a ouvert de nouvelles approches à de nombreux autres problèmes. Pour avoir résolu le dernier théorème de Fermat, il a été fait chevalier et a reçu d'autres récompenses. Quand on a appris que Wiles avait remporté le prix Abel, l'Académie norvégienne des sciences a décrit son exploit comme "une preuve délicieuse et élémentaire du dernier théorème de Fermat".
Comment c'était
L'une des personnes qui a examiné le manuscrit original de Wiles avec la solution du théorème était Nick Katz. Au cours de son examen, il a posé au Britannique un certain nombre de questions de clarification qui ont amené Wiles à admettre que son travail contient clairement une lacune. Dans une partie critique de la preuve, une erreur a été commise qui a donné une estimation de l'ordre d'un groupe particulier: le système d'Euler utilisé pour étendre la méthode de Kolyvagin et Flach était incomplet. L'erreur, cependant, n'a pas rendu son travail inutile - chaque morceau du travail de Wiles était très important et innovant en soi, comme l'étaient beaucoupdéveloppements et méthodes qu'il a créés au cours de son travail et qui n'ont affecté qu'une partie du manuscrit. Cependant, ce travail original, publié en 1993, n'avait pas vraiment de preuve du dernier théorème de Fermat.
Wyles a passé près d'un an à essayer de redécouvrir une solution au théorème, d'abord seul puis en collaboration avec son ancien élève Richard Taylor, mais tout cela a semblé être en vain. À la fin de 1993, des rumeurs avaient circulé selon lesquelles la preuve de Wiles avait échoué lors des tests, mais la gravité de cet échec n'était pas connue. Les mathématiciens ont commencé à faire pression sur Wiles pour qu'il révèle les détails de son travail, qu'il ait été fait ou non, afin que la communauté plus large des mathématiciens puisse explorer et utiliser tout ce qu'il était capable de réaliser. Au lieu de corriger rapidement son erreur, Wiles n'a découvert que des aspects difficiles supplémentaires dans la preuve du dernier théorème de Fermat, et a finalement réalisé à quel point c'était difficile.
Wyles déclare que le matin du 19 septembre 1994, il était sur le point d'abandonner et d'abandonner, et était presque résigné à l'échec. Il était prêt à publier son travail inachevé afin que d'autres puissent s'appuyer dessus et trouver où il se trompait. Le mathématicien anglais a décidé de se donner une dernière chance et a analysé le théorème une dernière fois pour essayer de comprendre les principales raisons pour lesquelles son approche n'a pas fonctionné, lorsqu'il s'est soudain rendu compte que l'approche Kolyvagin-Flac ne fonctionnerait pas tant qu'il n'aurait pasinclura également la théorie d'Iwasawa dans le processus de preuve, ce qui le fera fonctionner.
Le 6 octobre, Wiles a demandé à trois collègues (dont F altins) de revoir son nouveau travail, et le 24 octobre 1994, il a soumis deux manuscrits - "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem" et "Theoretical properties of the anneau de certaines algèbres de Hecke ", dont Wiles a co-écrit avec Taylor et a prouvé que certaines conditions étaient remplies pour justifier l'étape corrigée dans l'article principal.
Ces deux articles ont été révisés et finalement publiés en texte intégral dans les Annals of Mathematics de mai 1995. Les nouveaux calculs d'Andrew ont été largement analysés et finalement acceptés par la communauté scientifique. Dans ces articles, le théorème de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables a été établi - la dernière étape vers la preuve du dernier théorème de Fermat, 358 ans après sa création.
Histoire du Grand Problème
Résoudre ce théorème est considéré depuis des siècles comme le plus gros problème des mathématiques. En 1816 et en 1850, l'Académie française des sciences offrit un prix pour une preuve générale du dernier théorème de Fermat. En 1857, l'Académie a décerné 3 000 francs et une médaille d'or à Kummer pour ses recherches sur les nombres idéaux, bien qu'il n'ait pas postulé pour le prix. Un autre prix lui fut offert en 1883 par l'Académie de Bruxelles.
Prix Wolfskell
En 1908, l'industriel et mathématicien amateur allemand Paul Wolfskel a légué 100 000 marks d'or (une somme importante pour l'époque)Académie des sciences de Göttingen, afin que cet argent devienne un prix pour la preuve complète du dernier théorème de Fermat. Le 27 juin 1908, l'Académie a publié neuf règles d'attribution. Entre autres choses, ces règles exigeaient que la preuve soit publiée dans une revue à comité de lecture. Le prix ne devait être décerné que deux ans après sa publication. Le concours devait expirer le 13 septembre 2007 - environ un siècle après son lancement. Le 27 juin 1997, Wiles a reçu le prix en argent de Wolfschel, puis 50 000 $ supplémentaires. En mars 2016, il a reçu 600 000 € du gouvernement norvégien dans le cadre du prix Abel pour "une preuve étonnante du dernier théorème de Fermat à l'aide de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, ouvrant une nouvelle ère dans la théorie des nombres". C'était le triomphe mondial de l'humble Anglais.
Avant la preuve de Wiles, le théorème de Fermat, comme mentionné précédemment, était considéré comme absolument insoluble pendant des siècles. Des milliers de preuves incorrectes à divers moments ont été présentées au comité Wolfskell, représentant environ 10 pieds (3 mètres) de correspondance. Ce n'est que la première année de l'existence du prix (1907-1908) que 621 candidatures ont été soumises prétendant résoudre le théorème, bien que dans les années 1970, leur nombre ait diminué à environ 3-4 candidatures par mois. Selon F. Schlichting, l'examinateur de Wolfschel, la plupart des preuves étaient basées sur des méthodes élémentaires enseignées dans les écoles et étaient souvent présentées comme "des personnes ayant une formation technique mais des carrières infructueuses". Selon l'historien des mathématiques Howard Aves, le dernierLe théorème de Fermat a établi une sorte de record - c'est le théorème avec le plus grand nombre de preuves incorrectes.
Les lauriers de Farm sont allés aux Japonais
Comme mentionné précédemment, vers 1955, les mathématiciens japonais Goro Shimura et Yutaka Taniyama ont découvert un lien possible entre deux branches apparemment complètement différentes des mathématiques - les courbes elliptiques et les formes modulaires. Le théorème de modularité qui en résulte (alors connu sous le nom de conjecture de Taniyama-Shimura) stipule que chaque courbe elliptique est modulaire, ce qui signifie qu'elle peut être associée à une forme modulaire unique.
La théorie a été initialement rejetée comme improbable ou hautement spéculative, mais a été prise plus au sérieux lorsque le théoricien des nombres André Weil a trouvé des preuves à l'appui des conclusions japonaises. En conséquence, l'hypothèse a souvent été appelée hypothèse Taniyama-Shimura-Weil. Elle est devenue membre du programme Langlands, qui est une liste d'hypothèses importantes qui doivent être prouvées à l'avenir.
Même après un examen approfondi, la conjecture a été reconnue par les mathématiciens modernes comme extrêmement difficile, voire inaccessible à la preuve. Maintenant, ce théorème particulier attend son Andrew Wiles, qui pourrait surprendre le monde entier avec sa solution.
Théorème de Fermat: preuve de Perelman
Malgré le mythe populaire, le mathématicien russe Grigory Perelman, malgré tout son génie, n'a rien à voir avec le théorème de Fermat. Ce qui, cependant, n'enlève rien à cela.nombreuses contributions à la communauté scientifique.
