Les polyèdres ont attiré l'attention des mathématiciens et des scientifiques même dans l'Antiquité. Les Égyptiens ont construit les pyramides. Et les Grecs ont étudié les "polyèdres réguliers". Ils sont parfois appelés solides de Platon. Les "polyèdres traditionnels" sont constitués de faces planes, d'arêtes droites et de sommets. Mais la question principale a toujours été de savoir quelles règles ces parties séparées doivent remplir, ainsi que quelles conditions globales supplémentaires doivent être remplies pour qu'un objet soit qualifié de polyèdre. La réponse à cette question sera présentée dans l'article.
Problèmes de définition
En quoi consiste ce chiffre ? Un polyèdre est une forme solide fermée qui a des faces planes et des bords droits. Par conséquent, le premier problème de sa définition peut être appelé précisément les côtés de la figure. Tous les visages situés dans des plans ne sont pas toujours le signe d'un polyèdre. Prenons le "cylindre triangulaire" comme exemple. En quoi cela consiste? Une partie de sa surface trois par pairesles plans verticaux qui se croisent ne peuvent pas être considérés comme des polygones. La raison en est qu'il n'a pas de sommets. La surface d'une telle figure est formée sur la base de trois rayons qui se rencontrent en un point.
Un autre problème - les avions. Dans le cas du "cylindre triangulaire", il réside dans leurs parties illimitées. Une figure est considérée comme convexe si le segment de droite reliant deux points quelconques de l'ensemble s'y trouve également. Présentons une de leurs propriétés importantes. Pour les ensembles convexes, c'est que l'ensemble des points communs à l'ensemble est le même. Il existe un autre type de chiffres. Ce sont des polyèdres 2D non convexes qui ont des encoches ou des trous.
Formes qui ne sont pas des polyèdres
Un ensemble plat de points peut être différent (par exemple, non convexe) et ne pas satisfaire à la définition habituelle d'un polyèdre. Même à travers elle, elle est limitée par des tronçons de lignes. Les lignes d'un polyèdre convexe sont constituées de figures convexes. Cependant, cette approche de la définition exclut un chiffre allant vers l'infini. Un exemple de ceci serait trois rayons qui ne se rencontrent pas au même point. Mais en même temps, ils sont reliés aux sommets d'une autre figure. Traditionnellement, il était important pour un polyèdre qu'il se compose de surfaces planes. Mais au fil du temps, le concept s'est élargi, ce qui a conduit à une amélioration significative de la compréhension de la classe originale "plus étroite" des polyèdres, ainsi qu'à l'émergence d'une nouvelle définition plus large.
Correct
Introduisons une autre définition. Un polyèdre régulier est un polyèdre dont chaque face est une droite congruentepolygones convexes, et tous les sommets sont "identiques". Cela signifie que chaque sommet a le même nombre de polygones réguliers. Utilisez cette définition. Vous pouvez donc trouver cinq polyèdres réguliers.
Premiers pas vers le théorème d'Euler pour les polyèdres
Les Grecs connaissaient le polygone, qui s'appelle aujourd'hui le pentagramme. Ce polygone pourrait être qualifié de régulier car tous ses côtés sont de longueur égale. Il y a aussi une autre remarque importante. L'angle entre deux côtés consécutifs est toujours le même. Cependant, lorsqu'il est dessiné dans un plan, il ne définit pas un ensemble convexe et les côtés du polyèdre se coupent. Cependant, ce n'était pas toujours le cas. Les mathématiciens ont longtemps envisagé l'idée de polyèdres réguliers "non convexes". Le pentagramme en faisait partie. Les "polygones en étoile" étaient également autorisés. Plusieurs nouveaux exemples de "polyèdres réguliers" ont été découverts. Ils sont maintenant appelés polyèdres de Kepler-Poinsot. Plus tard, G. S. M. Coxeter et Branko Grünbaum ont étendu les règles et découvert d'autres "polyèdres réguliers".
Formule polyédrique
L'étude systématique de ces figures a commencé relativement tôt dans l'histoire des mathématiques. Leonhard Euler a été le premier à remarquer qu'une formule reliant le nombre de leurs sommets, faces et arêtes est valable pour les polyèdres 3D convexes.
Elle ressemble à ça:
V + F - E=2, où V est le nombre de sommets polyédriques, F est le nombre d'arêtes du polyèdre et E est le nombre de faces.
Leonhard Euler est Suissemathématicien considéré comme l'un des scientifiques les plus grands et les plus productifs de tous les temps. Il a été aveugle pendant la majeure partie de sa vie, mais la perte de la vue lui a donné une raison de devenir encore plus productif. Il existe plusieurs formules qui portent son nom, et celle que nous venons d'examiner est parfois appelée la formule des polyèdres d'Euler.
Il y a une précision. La formule d'Euler, cependant, ne fonctionne que pour les polyèdres qui suivent certaines règles. Ils résident dans le fait que le formulaire ne doit pas avoir de trous. Et il est inacceptable qu'il se croise. Un polyèdre ne peut pas non plus être composé de deux parties jointes, comme deux cubes avec le même sommet. Euler mentionne le résultat de ses recherches dans une lettre à Christian Goldbach en 1750. Plus tard, il a publié deux articles dans lesquels il décrit comment il a essayé de trouver la preuve de sa nouvelle découverte. En fait, il existe des formes qui donnent une réponse différente à V + F - E. La réponse à la somme F + V - E=X s'appelle la caractéristique d'Euler. Elle a un autre aspect. Certaines formes peuvent même avoir une caractéristique d'Euler négative
Théorie des graphes
On prétend parfois que Descartes a dérivé le théorème d'Euler plus tôt. Bien que ce scientifique ait découvert des faits sur les polyèdres tridimensionnels qui lui permettraient de dériver la formule souhaitée, il n'a pas franchi cette étape supplémentaire. Aujourd'hui, Euler est considéré comme le "père" de la théorie des graphes. Il a résolu le problème du pont de Königsberg en utilisant ses idées. Mais le scientifique n'a pas regardé le polyèdre dans son contextela théorie des graphes. Euler a essayé de donner une preuve d'une formule basée sur la décomposition d'un polyèdre en parties plus simples. Cette tentative est en deçà des normes modernes de preuve. Bien qu'Euler n'ait pas donné la première justification correcte de sa formule, on ne peut prouver des conjectures qui n'ont pas été faites. Cependant, les résultats, qui ont été étayés ultérieurement, permettent d'utiliser également le théorème d'Euler à l'heure actuelle. La première preuve a été obtenue par le mathématicien Adrian Marie Legendre.
Preuve de la formule d'Euler
Euler a d'abord formulé la formule polyédrique comme un théorème sur les polyèdres. Aujourd'hui, il est souvent traité dans le contexte plus général des graphes connectés. Par exemple, en tant que structures constituées de points et de segments de ligne les reliant, qui se trouvent dans la même partie. Augustin Louis Cauchy a été le premier à trouver cette importante connexion. Il a servi de preuve du théorème d'Euler. Il a, en substance, remarqué que le graphe d'un polyèdre convexe (ou ce qu'on appelle aujourd'hui tel) est topologiquement homéomorphe à une sphère, a un graphe connexe planaire. Ce que c'est? Un graphe planaire est un graphe qui a été dessiné dans le plan de telle manière que ses arêtes ne se rencontrent ou ne se croisent qu'en un sommet. C'est là que le lien entre le théorème d'Euler et les graphes a été trouvé.
Une indication de l'importance du résultat est que David Epstein a pu collecter dix-sept éléments de preuve différents. Il existe de nombreuses façons de justifier la formule polyédrique d'Euler. Dans un sens, les preuves les plus évidentes sont les méthodes qui utilisent l'induction mathématique. Le résultat peut être prouvéen le dessinant le long du nombre d'arêtes, de faces ou de sommets du graphe.
Preuve de Rademacher et Toeplitz
La preuve suivante de Rademacher et Toeplitz, basée sur l'approche de Von Staudt, est particulièrement attrayante. Pour justifier le théorème d'Euler, supposons que G est un graphe connexe plongé dans un plan. S'il possède des schémas, il est possible d'exclure une arête de chacun d'eux de manière à conserver la propriété qu'elle reste connectée. Il existe une correspondance un à un entre les parties supprimées pour aller au graphe connexe sans fermeture et celles qui ne sont pas une arête infinie. Ces recherches ont abouti à la classification des "surfaces orientables" en fonction de la caractéristique dite d'Euler.
Courbe de Jordanie. Théorème
La thèse principale, qui est directement ou indirectement utilisée dans la preuve de la formule des polyèdres du théorème d'Euler pour les graphes, dépend de la courbe de Jordan. Cette idée est liée à la généralisation. Il dit que toute courbe fermée simple divise le plan en trois ensembles: des points dessus, à l'intérieur et à l'extérieur. Au fur et à mesure que l'intérêt pour la formule polyédrique d'Euler s'est développé au XIXe siècle, de nombreuses tentatives ont été faites pour la généraliser. Cette recherche a jeté les bases du développement de la topologie algébrique et l'a reliée à l'algèbre et à la théorie des nombres.
Groupe Moebius
On a vite découvert que certaines surfaces ne pouvaient être "orientées" de manière cohérente que localement, pas globalement. Le célèbre groupe de Möbius en est l'illustration.surfaces. Il a été découvert un peu plus tôt par Johann Listing. Ce concept inclut la notion de genre d'un graphe: le plus petit nombre de descripteurs g. Il doit être ajouté à la surface de la sphère et il peut être intégré à la surface étendue de manière à ce que les arêtes ne se rencontrent qu'aux sommets. Il s'avère que toute surface orientable dans l'espace euclidien peut être considérée comme une sphère avec un certain nombre de poignées.
Diagramme d'Euler
Le scientifique a fait une autre découverte, qui est encore utilisée aujourd'hui. Ce diagramme dit d'Euler est une représentation graphique de cercles, généralement utilisée pour illustrer les relations entre des ensembles ou des groupes. Les graphiques incluent généralement des couleurs qui se mélangent dans les zones où les cercles se chevauchent. Les ensembles sont représentés précisément par des cercles ou des ovales, bien que d'autres figures puissent également être utilisées pour eux. Une inclusion est représentée par un chevauchement d'ellipses appelées cercles d'Euler.
Ils représentent des ensembles et des sous-ensembles. L'exception concerne les cercles qui ne se chevauchent pas. Les diagrammes d'Euler sont étroitement liés à d'autres représentations graphiques. Ils sont souvent confondus. Cette représentation graphique est appelée diagrammes de Venn. Selon les ensembles en question, les deux versions peuvent se ressembler. Cependant, dans les diagrammes de Venn, les cercles qui se chevauchent n'indiquent pas nécessairement des points communs entre les ensembles, mais seulement une relation logique possible si leurs étiquettes ne sont pas encercle qui se croise. Les deux options ont été adoptées pour l'enseignement de la théorie des ensembles dans le cadre du nouveau mouvement mathématique des années 1960.
Théorèmes de Fermat et Euler
Euler a laissé une marque notable dans la science mathématique. La théorie algébrique des nombres s'est enrichie d'un théorème qui porte son nom. C'est aussi une conséquence d'une autre découverte importante. C'est ce qu'on appelle le théorème de Lagrange algébrique général. Le nom d'Euler est également associé au petit théorème de Fermat. Elle dit que si p est un nombre premier et a est un entier non divisible par p, alors:
ap-1 - 1 est divisible par p.
Parfois, la même découverte a un nom différent, le plus souvent trouvé dans la littérature étrangère. Cela ressemble au théorème de Noël de Fermat. Le fait est que la découverte est devenue connue grâce à une lettre d'un scientifique envoyée la veille du 25 décembre 1640. Mais la déclaration elle-même a déjà été rencontrée. Il a été utilisé par un autre scientifique nommé Albert Girard. Fermat a seulement essayé de prouver sa théorie. L'auteur laisse entendre dans une autre lettre qu'il s'est inspiré de la méthode de descente infinie. Mais il n'a fourni aucune preuve. Plus tard, Eider s'est également tourné vers la même méthode. Et après lui - de nombreux autres scientifiques célèbres, dont Lagrange, Gauss et Minkosky.
Caractéristiques des identités
Le petit théorème de Fermat est aussi appelé un cas particulier d'un théorème de la théorie des nombres dû à Euler. Dans cette théorie, la fonction identité d'Euler compte les entiers positifs jusqu'à un entier donné n. Ils sont premiers par rapport àn.m. Le théorème d'Euler en théorie des nombres est écrit en utilisant la lettre grecque φ et ressemble à φ(n). Il peut être défini plus formellement comme le nombre d'entiers k dans la plage 1 ≦ k ≦ n pour lesquels le plus grand diviseur commun pgcd(n, k) est 1. La notation φ(n) peut aussi être appelée fonction phi d'Euler. Les entiers k de cette forme sont parfois appelés totatifs. Au cœur de la théorie des nombres, la fonction identité d'Euler est multiplicative, ce qui signifie que si deux nombres m et n sont premiers entre eux, alors φ(mn)=φ(m)φ(n). Il joue également un rôle clé dans la définition du système de chiffrement RSA.
La fonction d'Euler a été introduite en 1763. Cependant, à cette époque, le mathématicien n'a pas choisi de symbole spécifique pour cela. Dans une publication de 1784, Euler étudia cette fonction plus en détail et choisit la lettre grecque π pour la représenter. James Sylvester a inventé le terme "total" pour cette fonctionnalité. Par conséquent, il est également appelé total d'Euler. Le total φ(n) d'un entier positif n supérieur à 1 est le nombre d'entiers positifs inférieurs à n qui sont premiers entre eux jusqu'à n.φ(1) est défini comme 1. La fonction d'Euler ou fonction phi(φ) est une théorie des nombres très importante, une fonction profondément liée aux nombres premiers et au soi-disant ordre des entiers.
