Les polyèdres occupent non seulement une place prépondérante dans la géométrie, mais se produisent également dans la vie quotidienne de chaque personne. Sans oublier les articles ménagers créés artificiellement sous la forme de divers polygones, commençant par une boîte d'allumettes et se terminant par des éléments architecturaux, des cristaux sous la forme d'un cube (sel), d'un prisme (cristal), d'une pyramide (scheelite), d'un octaèdre (diamant), etc. e.
Le concept de polyèdre, types de polyèdres en géométrie
La géométrie en tant que science contient une section de stéréométrie qui étudie les caractéristiques et les propriétés des figures tridimensionnelles. Les corps géométriques, dont les côtés dans l'espace tridimensionnel sont formés par des plans limités (faces), sont appelés "polyèdres". Les types de polyèdres comprennent plus d'une douzaine de représentants, différant par le nombre et la forme des faces.
Cependant, tous les polyèdres ont des propriétés communes:
- Ils ont tous 3 composants essentiels: le visage(surface d'un polygone), sommet (coins formés à la jonction de faces), arête (côté d'une figure ou d'un segment formé à la jonction de deux faces).
- Chaque bord de polygone relie deux et seulement deux faces adjacentes.
- Convexité signifie que le corps n'est complètement situé que d'un côté du plan sur lequel se trouve l'une des faces. La règle s'applique à toutes les faces du polyèdre. De telles figures géométriques en stéréométrie sont appelées polyèdres convexes. L'exception est les polyèdres en forme d'étoile, qui sont des dérivés de solides géométriques polyédriques réguliers.
Les polyèdres peuvent être conditionnellement divisés en:
- Types de polyèdres convexes, composés des classes suivantes: ordinaires ou classiques (prisme, pyramide, parallélépipède), réguliers (également appelés solides de Platon), semi-réguliers (deuxième nom - solides d'Archimède).
- Polyèdres non convexes (en forme d'étoile).
Prisme et ses propriétés
La stéréométrie en tant que branche de la géométrie étudie les propriétés des figures tridimensionnelles, types de polyèdres (un prisme en fait partie). Un prisme est un corps géométrique qui a nécessairement deux faces absolument identiques (elles sont aussi appelées bases) situées dans des plans parallèles, et le n-ième nombre de faces latérales en forme de parallélogrammes. À son tour, le prisme a également plusieurs variétés, y compris des types de polyèdres tels que:
- Parallélépipède - formé si la base est un parallélogramme -polygone avec 2 paires d'angles opposés égaux et 2 paires de côtés opposés égaux.
- Un prisme droit a des arêtes perpendiculaires à la base.
- Le prisme incliné se caractérise par la présence d'angles non droits (autres que 90) entre les faces et la base.
- Un prisme régulier est caractérisé par des bases en forme de polygone régulier à faces latérales égales.
Propriétés de base d'un prisme:
- Bases congruentes.
- Tous les bords du prisme sont égaux et parallèles les uns aux autres.
- Toutes les faces latérales sont en forme de parallélogramme.
Pyramide
La pyramide est un corps géométrique composé d'une base et d'un nième nombre de faces triangulaires, reliées en un point - le sommet. A noter que si les faces latérales de la pyramide sont nécessairement représentées par des triangles, alors la base peut être soit un polygone triangulaire, soit un quadrilatère, soit un pentagone, et ainsi de suite à l'infini. Dans ce cas, le nom de la pyramide correspondra au polygone à la base. Par exemple, si un triangle se trouve à la base d'une pyramide, c'est une pyramide triangulaire, un quadrilatère est un quadrangulaire, etc.
Les pyramides sont des polyèdres coniques. Les types de polyèdres de ce groupe, en plus de ceux énumérés ci-dessus, comprennent également les représentants suivants:
- Une pyramide régulière a un polygone régulier à sa base, et sa hauteur est projetée vers le centreun cercle inscrit à la base ou circonscrit autour de celle-ci.
- Une pyramide rectangulaire se forme lorsque l'un des bords latéraux croise la base à angle droit. Dans ce cas, il est également juste d'appeler cette arête la hauteur de la pyramide.
Propriétés de la pyramide:
- Si tous les bords latéraux de la pyramide sont congruents (de la même hauteur), alors ils se croisent tous avec la base au même angle, et autour de la base, vous pouvez dessiner un cercle avec un centre coïncidant avec la projection de le sommet de la pyramide.
- Si la base de la pyramide est un polygone régulier, alors toutes les arêtes latérales sont congruentes et les faces sont des triangles isocèles.
Polyèdre régulier: types et propriétés des polyèdres
En stéréométrie, une place particulière est occupée par des corps géométriques à faces absolument égales, aux sommets desquels le même nombre d'arêtes sont connectées. Ces solides sont appelés solides de Platon ou polyèdres réguliers. Les types de polyèdres avec de telles propriétés n'ont que cinq formes:
- Tétraèdre.
- Hexaèdre.
- Octaèdre.
- Dodécaèdre.
- Icosaèdre.
Les polyèdres réguliers doivent leur nom au philosophe grec Platon, qui a décrit ces corps géométriques dans ses écrits et les a reliés aux éléments naturels: terre, eau, feu, air. Le cinquième chiffre a reçu la similitude avec la structure de l'univers. À son avis, les atomes d'éléments naturels en forme ressemblent aux types de polyèdres réguliers. En raison de sa propriété la plus excitante -symétrie, ces corps géométriques ont été d'un grand intérêt non seulement pour les mathématiciens et philosophes antiques, mais aussi pour les architectes, artistes et sculpteurs de tous les temps. La présence de seulement 5 types de polyèdres à symétrie absolue était considérée comme une découverte fondamentale, on leur a même attribué un lien avec le principe divin.
Hexaèdre et ses propriétés
Sous la forme d'un hexagone, les successeurs de Platon supposaient une similitude avec la structure des atomes de la terre. Bien sûr, à l'heure actuelle, cette hypothèse a été complètement réfutée, ce qui n'empêche cependant pas les personnages d'attirer l'esprit de personnages célèbres avec leur esthétique des temps modernes.
En géométrie, un hexaèdre, également appelé cube, est considéré comme un cas particulier de parallélépipède, qui, à son tour, est une sorte de prisme. En conséquence, les propriétés du cube sont liées aux propriétés du prisme, la seule différence étant que toutes les faces et tous les coins du cube sont égaux les uns aux autres. Les propriétés suivantes en découlent:
- Tous les bords du cube sont congruents et se trouvent dans des plans parallèles les uns par rapport aux autres.
- Toutes les faces sont des carrés congruents (il y en a 6 au total dans un cube), chacun pouvant être pris comme base.
- Tous les angles d'interface sont de 90.
- Un nombre égal d'arêtes émane de chaque sommet, à savoir 3.
- Le cube a 9 axes de symétrie, qui se coupent tous au point d'intersection des diagonales de l'hexaèdre, appelé centre de symétrie.
Tétraèdre
Un tétraèdre est un tétraèdre à faces égales en forme de triangles dont chacun des sommetsest le point de jonction de trois faces.
Propriétés du tétraèdre régulier:
- Toutes les faces d'un tétraèdre sont des triangles équilatéraux, ce qui signifie que toutes les faces d'un tétraèdre sont congruentes.
- Comme la base est représentée par une figure géométrique régulière, c'est-à-dire qu'elle a des côtés égaux, les faces du tétraèdre convergent sous le même angle, c'est-à-dire que tous les angles sont égaux.
- La somme des angles plats à chacun des sommets est de 180, puisque tous les angles sont égaux, alors tout angle d'un tétraèdre régulier est de 60.
- Chacun des sommets est projeté au point d'intersection des hauteurs de la face opposée (orthocentre).
L'octaèdre et ses propriétés
Décrivant les types de polyèdres réguliers, on ne peut manquer de noter un objet tel qu'un octaèdre, qui peut être représenté visuellement comme deux pyramides régulières quadrangulaires collées ensemble par des bases.
Propriétés de l'octaèdre:
- Le nom même d'un corps géométrique suggère le nombre de ses faces. L'octaèdre est constitué de 8 triangles équilatéraux congrus, en chacun des sommets desquels convergent un nombre égal de faces, soit 4.
- Comme toutes les faces d'un octaèdre sont égales, ses angles d'interface sont également égaux, dont chacun est égal à 60, et la somme des angles plans de chacun des sommets est donc de 240.
Dodécaèdre
Si nous imaginons que toutes les faces d'un corps géométrique sont un pentagone régulier, alors nous obtenons un dodécaèdre -une figure de 12 polygones.
Propriétés du dodécaèdre:
- Trois faces se croisent à chaque sommet.
- Tous les visages sont égaux et ont la même longueur d'arête et la même surface.
- Le dodécaèdre a 15 axes et plans de symétrie, et chacun d'eux passe par le sommet de la face et le milieu de l'arête opposée.
Icosaèdre
Pas moins intéressant que le dodécaèdre, la figure de l'icosaèdre est un corps géométrique tridimensionnel à 20 faces égales. Parmi les propriétés d'un vingt-èdre régulier, on peut noter:
- Toutes les faces de l'icosaèdre sont des triangles isocèles.
- Cinq faces convergent à chaque sommet du polyèdre, et la somme des angles adjacents du sommet est 300.
- L'icosaèdre, comme le dodécaèdre, a 15 axes et plans de symétrie passant par les milieux de faces opposées.
Polygones semi-réguliers
Outre les solides de Platon, le groupe des polyèdres convexes comprend également les solides d'Archimède, qui sont des polyèdres réguliers tronqués. Les types de polyèdres de ce groupe ont les propriétés suivantes:
- Les corps géométriques ont des faces égales deux à deux de plusieurs types, par exemple, un tétraèdre tronqué a 8 faces, comme un tétraèdre régulier, mais dans le cas d'un solide d'Archimède, 4 faces seront triangulaires et 4 seront hexagonales.
- Tous les angles d'un sommet sont congruents.
Polyèdres étoilés
Les représentants des types non volumétriques de corps géométriques sont des polyèdres étoilés dont les faces se coupent. Ils peuvent être formés en fusionnant deux solides 3D réguliers ou en étendant leurs faces.
Ainsi, ces polyèdres étoilés sont connus sous les noms suivants: formes étoilées de l'octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre, cuboctaèdre, icosododécaèdre.
