Dans la description mathématique du mouvement de rotation, il est important de connaître le moment d'inertie du système autour de l'axe. Dans le cas général, la procédure de recherche de cette grandeur passe par la mise en oeuvre du processus d'intégration. Le soi-disant théorème de Steiner facilite le calcul. Examinons-le plus en détail dans l'article.
Qu'est-ce que le moment d'inertie ?
Avant de donner la formulation du théorème de Steiner, il est nécessaire de traiter de la notion même de moment d'inertie. Supposons qu'il y ait un corps d'une certaine masse et d'une forme arbitraire. Ce corps peut être soit un point matériel, soit tout objet bidimensionnel ou tridimensionnel (tige, cylindre, bille, etc.). Si l'objet en question effectue un mouvement circulaire autour d'un axe avec une accélération angulaire constante α, alors l'équation suivante peut être écrite:
M=Iα
Ici, la valeur M représente le moment total des forces, ce qui donne l'accélération α à l'ensemble du système. Le coefficient de proportionnalité entre eux - I, est appelémoment d'inertie. Cette grandeur physique est calculée à l'aide de la formule générale suivante:
I=∫m (r2dm)
Ici r est la distance entre l'élément de masse dm et l'axe de rotation. Cette expression signifie qu'il faut trouver la somme des produits des distances au carré r2 et de la masse élémentaire dm. Autrement dit, le moment d'inertie n'est pas une caractéristique pure du corps, ce qui le distingue de l'inertie linéaire. Cela dépend de la répartition de la masse dans l'objet qui tourne, ainsi que de la distance à l'axe et de l'orientation du corps par rapport à celui-ci. Par exemple, une tige aura un I différent si elle est tournée autour du centre de masse et autour de l'extrémité.
Moment d'inertie et théorème de Steiner
Le célèbre mathématicien suisse Jakob Steiner a prouvé le théorème sur les axes parallèles et le moment d'inertie, qui porte désormais son nom. Ce théorème postule que le moment d'inertie pour absolument tout corps rigide de géométrie arbitraire par rapport à un axe de rotation est égal à la somme du moment d'inertie autour de l'axe qui coupe le centre de masse du corps et est parallèle au premier, et le produit de la masse corporelle par le carré de la distance entre ces axes. Mathématiquement, cette formulation s'écrit comme suit:
IZ=IO + ml2
IZ et IO - moments d'inertie autour de l'axe Z et de l'axe O parallèle à celui-ci, qui passe passant par le centre de masse du corps, l - distance entre les lignes Z et O.
Le théorème permet, connaissant la valeur de IO, de calculertout autre moment IZ autour d'un axe parallèle à O.
Preuve du théorème
La formule du théorème de Steiner peut être facilement obtenue par vous-même. Pour ce faire, considérons un corps arbitraire sur le plan xy. Soit l'origine des coordonnées passant par le centre de masse de ce corps. Calculons le moment d'inertie IO qui passe par l'origine perpendiculaire au plan xy. Puisque la distance à tout point du corps est exprimée par la formule r=√ (x2 + y2), alors nous obtenons l'intégrale:
IO=∫m (r2dm)=∫ m ((x2+y2) dm)
Maintenant, déplaçons l'axe parallèle le long de l'axe des x d'une distance l, par exemple, dans la direction positive, puis le calcul pour le nouvel axe du moment d'inertie ressemblera à ceci:
IZ=∫m(((x+l)2+y 2)dm)
Développez le carré entier entre parenthèses et divisez les intégrandes, nous obtenons:
IZ=∫m ((x2+l 2+2xl+y2)dm)=∫m ((x2 +y2)dm) + 2l∫m (xdm) + l 2∫mdm
Le premier de ces termes vaut IO, le troisième terme, après intégration, donne le terme l2m, et ici le second terme est nul. La remise à zéro de l'intégrale spécifiée est due au fait qu'elle est tirée du produit de x et des éléments de masse dm, qui dansla moyenne donne zéro, puisque le centre de masse est à l'origine. En conséquence, la formule du théorème de Steiner est obtenue.
Le cas considéré sur le plan peut être généralisé à un corps tridimensionnel.
Vérifier la formule de Steiner sur l'exemple d'une tige
Donnons un exemple simple pour montrer comment utiliser le théorème ci-dessus.
On sait que pour une tige de longueur L et de masse m, le moment d'inertie IO(l'axe passe par le centre de masse) est égal à m L2 /12, et le moment IZ(l'axe passe par l'extrémité de la tige) est égal à mL 2/3. Vérifions ces données à l'aide du théorème de Steiner. Puisque la distance entre les deux essieux est L/2, alors on obtient le moment IZ:
IZ=IO+ m(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
C'est-à-dire que nous avons vérifié la formule de Steiner et obtenu la même valeur pour IZ que dans la source.
Des calculs similaires peuvent être effectués pour d'autres corps (cylindre, bille, disque), tout en obtenant les moments d'inertie nécessaires, et sans effectuer d'intégration.
Moment d'inertie et axes perpendiculaires
Le théorème considéré concerne les axes parallèles. Pour être complet, il est également utile de donner un théorème pour les axes perpendiculaires. Elle se formule comme suit: pour un objet plat de forme quelconque, le moment d'inertie autour d'un axe perpendiculaire à celui-ci sera égal à la somme de deux moments d'inertie autour de deux perpendiculaires entre eux et couchésdans le plan de l'objet axes, les trois axes passant par le même point. Mathématiquement, cela s'écrit comme suit:
Iz=Ix + Iy
Ici z, x, y sont trois axes de rotation mutuellement perpendiculaires.
La différence essentielle entre ce théorème et le théorème de Steiner est qu'il ne s'applique qu'aux objets solides plats (à deux dimensions). Néanmoins, dans la pratique, il est largement utilisé, coupant mentalement le corps en couches séparées, puis ajoutant les moments d'inertie obtenus.
