La ligne et le plan sont les deux éléments géométriques les plus importants qui peuvent être utilisés pour construire différentes formes dans l'espace 2D et 3D. Considérez comment trouver la distance entre des lignes parallèles et des plans parallèles.
Tâche mathématique en ligne droite
D'après le cours de géométrie de l'école, on sait que dans un système de coordonnées rectangulaires à deux dimensions, une ligne peut être spécifiée sous la forme suivante:
y=kx + b.
Où k et b sont des nombres (paramètres). La forme écrite de la représentation d'une ligne dans un plan est un plan parallèle à l'axe z dans un espace tridimensionnel. Compte tenu de cela, dans cet article, pour l'attribution mathématique d'une ligne droite, nous utiliserons une forme plus pratique et universelle - une forme vectorielle.
Supposons que notre droite est parallèle à un vecteur u¯(a, b, c) et passe par le point P(x0, y0, z0). Dans ce cas, sous forme vectorielle, son équation sera représentée comme suit:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Ici λ est n'importe quel nombre. Si nous représentons explicitement les coordonnées en développant l'expression écrite, nous obtiendrons une forme paramétrique d'écriture d'une ligne droite.
Il est pratique de travailler avec une équation vectorielle lors de la résolution de divers problèmes dans lesquels il est nécessaire de déterminer la distance entre des lignes parallèles.
Lignes et la distance entre elles
Il est logique de parler de la distance entre les lignes uniquement lorsqu'elles sont parallèles (dans le cas tridimensionnel, il existe également une distance non nulle entre les lignes obliques). Si les lignes se croisent, il est évident qu'elles sont à une distance nulle l'une de l'autre.
La distance entre des droites parallèles est la longueur de la perpendiculaire qui les relie. Pour déterminer cet indicateur, il suffit de choisir un point arbitraire sur l'une des lignes et de déposer une perpendiculaire de celle-ci à une autre.
Décrivons brièvement la procédure pour trouver la distance souhaitée. Supposons que l'on connaisse les équations vectorielles de deux droites, qui se présentent sous la forme générale suivante:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Construire un parallélogramme sur ces droites de sorte que l'un des côtés soit PQ, et l'autre, par exemple, u. Évidemment, la hauteur de cette figure, tirée du point P, est la longueur de la perpendiculaire recherchée. Pour le trouver, vous pouvez appliquer le simple suivantformule:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Puisque la distance entre droites est la longueur du segment perpendiculaire entre elles, alors selon l'expression écrite, il suffit de trouver le module du produit vectoriel de PQ¯ et u¯ et de diviser le résultat par la longueur du vecteur u¯.
Un exemple de tâche pour déterminer la distance entre des lignes droites
Deux droites sont données par les équations vectorielles suivantes:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
D'après les expressions écrites, il est clair que nous avons deux lignes parallèles. En effet, si on multiplie par -1 les coordonnées du vecteur directeur de la première droite, on obtient les coordonnées du vecteur directeur de la seconde droite, ce qui indique leur parallélisme.
La distance entre les lignes droites sera calculée en utilisant la formule écrite dans le paragraphe précédent de l'article. Nous avons:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Alors on obtient:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Notez qu'au lieu des points P et Q, absolument tous les points appartenant à ces lignes pourraient être utilisés pour résoudre le problème. Dans ce cas, on obtiendrait la même distance d.
Définir un plan en géométrie
La question de la distance entre les lignes a été discutée en détail ci-dessus. Montrons maintenant comment trouver la distance entre des plans parallèles.
Tout le monde représente ce qu'est un avion. Selon la définition mathématique, l'élément géométrique spécifié est un ensemble de points. De plus, si vous composez tous les vecteurs possibles à l'aide de ces points, ils seront tous perpendiculaires à un seul vecteur. Cette dernière est généralement appelée la normale au plan.
Pour spécifier l'équation d'un plan dans un espace tridimensionnel, la forme générale de l'équation est le plus souvent utilisée. Il ressemble à ceci:
Ax + By + Cz + D=0.
Où les lettres latines majuscules sont des nombres. Il est pratique d'utiliser ce type d'équation plane car les coordonnées du vecteur normal y sont explicitement données. Ce sont A, B, C.
Il est facile de voir que deux plans ne sont parallèles que lorsque leurs normales sont parallèles.
Comment trouver la distance entre deux plans parallèles ?
Pour déterminer la distance spécifiée, vous devez bien comprendre ce qui est en jeu. La distance entre des plans parallèles entre eux s'entend comme la longueur du segment qui leur est perpendiculaire. Les extrémités de ce segment appartiennent à des plans.
L'algorithme pour résoudre de tels problèmes est simple. Pour ce faire, vous devez trouver les coordonnées d'absolument n'importe quel point appartenant à l'un des deux plans. Ensuite, vous devez utiliser cette formule:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Puisque la distance est une valeur positive, le signe du module est au numérateur. La formule écrite est universelle, car elle vous permet de calculer la distance entre le plan et absolument n'importe quel élément géométrique. Il suffit de connaître les coordonnées d'un point de cet élément.
Par souci d'exhaustivité, notons que si les normales de deux plans ne sont pas parallèles l'une à l'autre, ces plans se croiseront. La distance entre eux sera alors nulle.
Le problème de la détermination de la distance entre les avions
On sait que deux plans sont donnés par les expressions suivantes:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Il est nécessaire de prouver que les plans sont parallèles, et aussi de déterminer la distance entre eux.
Pour répondre à la première partie du problème, vous devez mettre la première équation sous une forme générale. A noter qu'elle est donnée sous la forme dite d'une équation en segments. Multipliez ses parties gauche et droite par 15 et déplacez tous les termes d'un côté de l'équation, nous obtenons:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Écrivons les coordonnées de deux vecteurs normaux des plans:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
On peut voir que si n2¯ est multiplié par 5, alors nous obtiendrons exactement les coordonnées n1¯. Ainsi, les plans considérés sontparallèle.
Pour calculer la distance entre des plans parallèles, sélectionnez un point arbitraire du premier d'entre eux et utilisez la formule ci-dessus. Prenons par exemple le point (0, 0, 1) qui appartient au premier plan. Alors on obtient:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
La distance souhaitée est de 31 mm.
Distance entre l'avion et la ligne
Les connaissances théoriques fournies nous permettent également de résoudre le problème de la détermination de la distance entre une droite et un plan. Il a déjà été mentionné ci-dessus que la formule valable pour les calculs entre plans est universelle. Il peut également être utilisé pour résoudre le problème. Pour ce faire, sélectionnez simplement n'importe quel point appartenant à la ligne donnée.
Le principal problème pour déterminer la distance entre les éléments géométriques considérés est la preuve de leur parallélisme (sinon, alors d=0). Le parallélisme est facile à prouver si vous calculez le produit scalaire de la normale et du vecteur directeur de la ligne. Si les éléments considérés sont parallèles, alors ce produit sera égal à zéro.
