La ligne droite est l'objet géométrique principal sur le plan et dans l'espace tridimensionnel. C'est à partir de lignes droites que de nombreuses figures sont construites, par exemple: un parallélogramme, un triangle, un prisme, une pyramide, etc. Considérez dans l'article différentes manières de définir les équations des lignes.
Définition d'une droite et types d'équations pour la décrire
Chaque élève a une bonne idée de l'objet géométrique dont il parle. Une ligne droite peut être représentée comme une collection de points, et si nous connectons chacun d'eux à tour de rôle avec tous les autres, nous obtenons alors un ensemble de vecteurs parallèles. En d'autres termes, il est possible d'accéder à chaque point de la ligne à partir de l'un de ses points fixes, en le transférant à un vecteur unitaire multiplié par un nombre réel. Cette définition d'une droite est utilisée pour définir une égalité vectorielle pour sa description mathématique à la fois dans le plan et dans l'espace à trois dimensions.
Une ligne droite peut être mathématiquement représentée par les types d'équations suivants:
- général;
- vecteur;
- paramétrique;
- en segments;
- symétrique (canonique).
Ensuite, nous examinerons tous les types nommés et montrerons comment travailler avec eux en utilisant des exemples de résolution de problèmes.
Description vectorielle et paramétrique d'une droite
Commençons par définir une droite passant par un vecteur connu. Supposons qu'il existe un point fixe dans l'espace M(x0; y0; z0). On sait que la droite passe par lui et est dirigée selon le segment de vecteur v¯(a; b; c). Comment trouver un point arbitraire de la droite à partir de ces données ? La réponse à cette question donnera l'égalité suivante:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Où λ est un nombre arbitraire.
Une expression similaire peut être écrite pour le cas bidimensionnel, où les coordonnées des vecteurs et des points sont représentés par un ensemble de deux nombres:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Les équations écrites sont appelées équations vectorielles, et le segment orienté v¯ lui-même est le vecteur directeur de la droite.
A partir des expressions écrites, les équations paramétriques correspondantes sont obtenues simplement, il suffit de les réécrire explicitement. Par exemple, pour le cas dans l'espace, on obtient l'équation suivante:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Il est pratique de travailler avec des équations paramétriques si vous avez besoin d'analyser le comportementchaque coordonnée. Notez que bien que le paramètre λ puisse prendre des valeurs arbitraires, il doit être le même dans les trois égalités.
Équation générale
Une autre façon de définir une ligne droite, qui est souvent utilisée pour travailler avec l'objet géométrique considéré, est d'utiliser une équation générale. Pour le cas bidimensionnel, cela ressemble à:
AX + By + C=0
Ici, les lettres latines majuscules représentent des valeurs numériques spécifiques. La commodité de cette égalité dans la résolution de problèmes réside dans le fait qu'elle contient explicitement un vecteur perpendiculaire à une droite. Si on le note n¯, alors on peut écrire:
n¯=[A; B]
De plus, l'expression est pratique à utiliser pour déterminer la distance entre une ligne droite et un point P(x1; y1). La formule pour la distance d est:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(La2+ Si2)
Il est facile de montrer que si nous exprimons explicitement la variable y à partir de l'équation générale, nous obtenons la forme bien connue suivante d'écriture d'une ligne droite:
y=kx + b
Où k et b sont uniquement déterminés par les nombres A, B, C.
L'équation en segments et canonique
L'équation en segments est la plus facile à obtenir à partir de la vue générale. Nous allons vous montrer comment faire.
Supposons que nous ayons la ligne suivante:
AX + By + C=0
Déplacez le terme libre vers la droite de l'égalité, puis divisez l'équation entière par celui-ci, nous obtenons:
AX + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, où q=-C / A, p=-C / B
Nous avons la soi-disant équation en segments. Il tire son nom du fait que le dénominateur par lequel chaque variable est divisée indique la valeur de la coordonnée de l'intersection de la ligne avec l'axe correspondant. Il est pratique d'utiliser ce fait pour représenter une ligne droite dans un système de coordonnées, ainsi que pour analyser sa position relative par rapport à d'autres objets géométriques (lignes droites, points).
Passons maintenant à l'obtention de l'équation canonique. C'est plus facile à faire si l'on considère l'option paramétrique. Pour le cas dans l'avion nous avons:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
On exprime le paramètre λ dans chaque égalité, puis on les égalise, on obtient:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
C'est l'équation souhaitée écrite sous forme symétrique. Tout comme une expression vectorielle, elle contient explicitement les coordonnées du vecteur de direction et les coordonnées de l'un des points appartenant à la ligne.
On peut voir que dans ce paragraphe nous avons donné des équations pour le cas bidimensionnel. De même, vous pouvez écrire l'équation d'une ligne droite dans l'espace. Il convient de noter ici que si la forme canoniqueles enregistrements et l'expression dans les segments auront la même forme, alors l'équation générale dans l'espace pour une ligne droite est représentée par un système de deux équations pour les plans sécants.
Le problème de la construction de l'équation d'une droite
Depuis la géométrie, chaque élève sait qu'à travers deux points, vous pouvez tracer une seule ligne. Supposons que les points suivants sont donnés dans le plan de coordonnées:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Il faut trouver l'équation de la droite à laquelle appartiennent les deux points, en segments, sous forme vectorielle, canonique et générale.
Prenons d'abord l'équation vectorielle. Pour ce faire, définissez pour le vecteur direct de direction M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Vous pouvez maintenant créer une équation vectorielle en prenant l'un des deux points spécifiés dans l'énoncé du problème, par exemple, M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
Pour obtenir l'équation canonique, il suffit de transformer l'égalité trouvée en une forme paramétrique et d'exclure le paramètre λ. Nous avons:
x=-1 - 2λ, donc λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, alors on obtient λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Les deux équations restantes (générale et en segments) peuvent être trouvées à partir de l'équation canonique en la transformant comme suit:
x + 1=-2y + 6;
équation générale: x + 2y - 5=0;
dans l'équation des segments: x / 5 + y / 2, 5=1
Les équations résultantes montrent que le vecteur (1; 2) doit être perpendiculaire à la droite. En effet, si vous trouvez son produit scalaire avec le vecteur directeur, alors il sera égal à zéro. L'équation du segment de droite dit que la droite coupe l'axe des x en (5; 0) et l'axe des y en (2, 5; 0).
Le problème de la détermination du point d'intersection des lignes
Deux droites sont données sur le plan par les équations suivantes:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Il est nécessaire de déterminer les coordonnées du point où ces lignes se croisent.
Il y a deux façons de résoudre le problème:
- Transformer l'équation vectorielle en une forme générale, puis résoudre le système de deux équations linéaires.
- N'effectuez aucune transformation, mais remplacez simplement la coordonnée du point d'intersection, exprimée par le paramètre λ, dans la première équation. Trouvez ensuite la valeur du paramètre.
Faisons la deuxième façon. Nous avons:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Remplacer le nombre résultant dans l'équation vectorielle:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Ainsi, le seul point qui appartient aux deux lignes est le point de coordonnées (-2; 5). Les lignes s'y croisent.
