Un problème géométrique typique consiste à trouver l'angle entre les lignes. Sur un plan, si les équations des droites sont connues, elles peuvent être tracées et l'angle mesuré avec un rapporteur. Cependant, cette méthode est laborieuse et pas toujours possible. Pour connaître l'angle nommé, il n'est pas nécessaire de tracer des lignes droites, il peut être calculé. Cet article vous expliquera comment cela se fait.
Une droite et son équation vectorielle
Toute ligne droite peut être représentée comme un vecteur qui commence à -∞ et se termine à +∞. Dans ce cas, le vecteur passe par un point de l'espace. Ainsi, tous les vecteurs qui peuvent être tracés entre deux points quelconques sur une ligne droite seront parallèles les uns aux autres. Cette définition permet de mettre l'équation d'une droite sous forme vectorielle:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Ici, le vecteur de coordonnées (a; b; c) est le guide de cette droite passant par le point (x0; y0; z0). Le paramètre α vous permet de transférer le point spécifié à n'importe quel autre pour cette ligne. Cette équation est intuitive et facile à utiliser à la fois dans l'espace 3D et sur un plan. Pour un plan, il ne contiendra pas les coordonnées z et la troisième composante du vecteur de direction.
La commodité d'effectuer des calculs et d'étudier la position relative des droites grâce à l'utilisation d'une équation vectorielle est due au fait que son vecteur directeur est connu. Ses coordonnées sont utilisées pour calculer l'angle entre les lignes et la distance entre elles.
Équation générale pour une droite sur un plan
Écrivons explicitement l'équation vectorielle de la droite pour le cas bidimensionnel. Il ressemble à:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Maintenant, nous calculons le paramètre α pour chaque égalité et assimilons les parties droites des égalités obtenues:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
En ouvrant les parenthèses et en transférant tous les termes d'un côté de l'égalité, on obtient:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, où A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
L'expression résultante est appelée l'équation générale d'une droite donnée dans un espace à deux dimensions (en trois dimensions, cette équation correspond à un plan parallèle à l'axe z, et non à une droite).
Si nous écrivons explicitement y à x dans cette expression, alors nous obtenons la forme suivante, connuechaque étudiant:
y=kx + p, où k=-A/B, p=-C/B
Cette équation linéaire définit de manière unique une ligne droite sur le plan. Il est très facile de le dessiner selon l'équation bien connue, pour cela vous devez mettre x=0 et y=0 à tour de rôle, marquer les points correspondants dans le système de coordonnées et tracer une ligne droite reliant les points obtenus.
Formule de l'angle entre les lignes
Sur un plan, deux droites peuvent soit se couper, soit être parallèles l'une à l'autre. Dans l'espace, à ces options s'ajoute la possibilité de l'existence de lignes obliques. Quelle que soit la version de la position relative de ces objets géométriques unidimensionnels implémentée, l'angle entre eux peut toujours être déterminé par la formule suivante:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Où v1¯ et v2¯ sont les vecteurs guides pour les lignes 1 et 2 respectivement. Le numérateur est le module du produit scalaire pour exclure les angles obtus et ne prendre en compte que les angles vifs.
Les vecteurs v1¯ et v2¯ peuvent être donnés par deux ou trois coordonnées, tandis que la formule de l'angle φ reste inchangé.
Parallélisme et perpendicularité des lignes
Si l'angle entre 2 droites calculées à l'aide de la formule ci-dessus est 0o, alors on dit qu'elles sont parallèles. Pour déterminer si les lignes sont parallèles ou non, vous ne pouvez pas calculer l'angleφ, il suffit de montrer qu'un vecteur directeur peut être représenté par un vecteur similaire d'une autre droite, soit:
v1¯=qv2¯
Ici q est un nombre réel.
Si les équations des lignes sont données comme:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
alors ils ne seront parallèles que lorsque les coefficients de x seront égaux, c'est-à-dire:
k1=k2
Ce fait peut être prouvé si l'on considère comment le coefficient k est exprimé en termes de coordonnées du vecteur directeur de la droite.
Si l'angle d'intersection entre les lignes est de 90o, alors elles sont dites perpendiculaires. Pour déterminer la perpendicularité des lignes, il n'est pas non plus nécessaire de calculer l'angle φ, pour cela il suffit de calculer uniquement le produit scalaire des vecteurs v1¯ et v 2¯. Il doit être égal à zéro.
Dans le cas de lignes droites qui se croisent dans l'espace, la formule de l'angle φ peut également être utilisée. Dans ce cas, le résultat doit être correctement interprété. Le φ calculé montre l'angle entre les vecteurs de direction des lignes qui ne se croisent pas et ne sont pas parallèles.
Tâche 1. Lignes perpendiculaires
On sait que les équations des droites ont la forme:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Il faut déterminer si ces lignes sontperpendiculaire.
Comme mentionné ci-dessus, pour répondre à la question, il suffit de calculer le produit scalaire des vecteurs des guides, qui correspondent aux coordonnées (1; 2) et (-4; 2). Nous avons:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Puisque nous avons obtenu 0, cela signifie que les droites considérées se coupent à angle droit, c'est-à-dire qu'elles sont perpendiculaires.
Tâche 2. Angle d'intersection de ligne
On sait que deux équations pour des droites ont la forme suivante:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Il faut trouver l'angle entre les lignes.
Comme les coefficients de x ont des valeurs différentes, ces droites ne sont pas parallèles. Pour trouver l'angle qui se forme lorsqu'ils se croisent, nous traduisons chacune des équations en une forme vectorielle.
Pour la première ligne on obtient:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Sur le côté droit de l'équation, nous avons un vecteur dont les coordonnées dépendent de x. Représentons-le comme une somme de deux vecteurs, et les coordonnées du premier contiendront la variable x, et les coordonnées du second seront constituées exclusivement de nombres:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Puisque x prend des valeurs arbitraires, il peut être remplacé par le paramètre α. L'équation vectorielle pour la première ligne devient:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
On fait les mêmes actions avec la seconde équation de la droite, on obtient:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Nous avons réécrit les équations originales sous forme vectorielle. Vous pouvez maintenant utiliser la formule de l'angle d'intersection en y remplaçant les coordonnées des vecteurs directeurs des lignes:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Ainsi, les lignes considérées se coupent à un angle de 71,565o, soit 1,249 radians.
Ce problème aurait pu être résolu différemment. Pour ce faire, il était nécessaire de prendre deux points arbitraires de chaque ligne droite, de composer des vecteurs directs à partir d'eux, puis d'utiliser la formule pour φ.
