L'un des problèmes courants en stéréométrie consiste à traverser des lignes droites et des plans et à calculer les angles entre eux. Examinons plus en détail dans cet article la méthode dite des coordonnées et les angles entre la ligne et le plan.
Ligne et plan en géométrie
Avant de considérer la méthode des coordonnées et l'angle entre une ligne et un plan, vous devriez vous familiariser avec les objets géométriques nommés.
Une ligne est une telle collection de points dans l'espace ou sur un plan, dont chacun peut être obtenu en transférant linéairement le précédent à un certain vecteur. Dans ce qui suit, on note ce vecteur par le symbole u¯. Si ce vecteur est multiplié par un nombre qui n'est pas égal à zéro, alors nous obtenons un vecteur parallèle à u¯. Une ligne est un objet linéaire infini.
Un plan est aussi une collection de points situés de telle manière que si vous en faites des vecteurs arbitraires, ils seront tous perpendiculaires à un vecteur n¯. Ce dernier est appelé normal ou simplement normal. Un plan, contrairement à une ligne droite, est un objet infini à deux dimensions.
Méthode des coordonnées pour résoudre les problèmes de géométrie
Sur la base du nom de la méthode elle-même, nous pouvons conclure qu'il s'agit d'une méthode de résolution de problèmes basée sur la performance de calculs séquentiels analytiques. En d'autres termes, la méthode des coordonnées vous permet de résoudre des problèmes géométriques à l'aide d'outils d'algèbre universels, dont les principaux sont les équations.
Il convient de noter que la méthode considérée est apparue à l'aube de la géométrie et de l'algèbre modernes. Une grande contribution à son développement a été apportée par René Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton et Leibniz aux XVIIe et XVIIIe siècles.
L'essence de la méthode est de calculer les distances, les angles, les aires et les volumes d'éléments géométriques basés sur les coordonnées de points connus. Notez que la forme des équations finales obtenues dépend du système de coordonnées. Le plus souvent, le système cartésien rectangulaire est utilisé dans les problèmes, car il est plus pratique de travailler avec.
Équation de ligne
Considérant la méthode des coordonnées et les angles entre la ligne et le plan, commençons par définir l'équation de la ligne. Il existe plusieurs façons de représenter les droites sous forme algébrique. Ici, nous ne considérons que l'équation vectorielle, car elle peut être facilement obtenue à partir d'elle sous n'importe quelle autre forme et est facile à utiliser.
Supposons qu'il y a deux points: P et Q. On sait qu'une ligne peut être tracée à travers eux, et ilsera le seul. La représentation mathématique correspondante de l'élément ressemble à ceci:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Où PQ¯ est un vecteur dont les coordonnées sont obtenues comme suit:
PQ¯=Q - P.
Le symbole λ désigne un paramètre qui peut prendre absolument n'importe quel nombre.
Dans l'expression écrite, vous pouvez changer la direction du vecteur et également substituer les coordonnées Q au lieu du point P. Toutes ces transformations n'entraîneront pas de modification de l'emplacement géométrique de la ligne.
Notez que lors de la résolution de problèmes, il est parfois nécessaire de représenter l'équation vectorielle écrite sous une forme explicite (paramétrique).
Définir un avion dans l'espace
Ainsi que pour une ligne droite, il existe également plusieurs formes d'équations mathématiques pour un plan. Parmi eux, on note le vecteur, l'équation en segments et la forme générale. Dans cet article, nous porterons une attention particulière à la dernière forme.
Une équation générale pour un plan arbitraire peut être écrite comme suit:
Ax + By + Cz + D=0.
Les lettres majuscules latines sont certains nombres qui définissent un plan.
La commodité de cette notation est qu'elle contient explicitement un vecteur normal au plan. Il est égal à:
n¯=(A, B, C).
Connaître ce vecteur permet, en regardant brièvement l'équation du plan, d'imaginer la position de ce dernier dans le repère.
Arrangement mutuel dansespace de ligne et de plan
Dans le paragraphe suivant de l'article, nous passerons à l'examen de la méthode des coordonnées et de l'angle entre la ligne et le plan. Ici, nous répondrons à la question de savoir comment les éléments géométriques considérés peuvent être localisés dans l'espace. Il y a trois façons:
- La droite coupe le plan. En utilisant la méthode des coordonnées, vous pouvez calculer à quel point unique la ligne et le plan se croisent.
- Le plan d'une droite est parallèle. Dans ce cas, le système d'équations d'éléments géométriques n'a pas de solution. Pour prouver le parallélisme, la propriété du produit scalaire du vecteur directeur de la droite et de la normale du plan est généralement utilisée.
- Le plan contient une ligne. En résolvant le système d'équations dans ce cas, nous arriverons à la conclusion que pour toute valeur du paramètre λ, l'égalité correcte est obtenue.
Dans les deuxième et troisième cas, l'angle entre les objets géométriques spécifiés est égal à zéro. Dans le premier cas, il est compris entre 0 et 90o.
Calcul des angles entre lignes et plans
Passons maintenant directement au sujet de l'article. Toute intersection d'une ligne et d'un plan se produit à un certain angle. Cet angle est formé par la droite elle-même et sa projection sur le plan. Une projection peut être obtenue si, à partir de n'importe quel point d'une ligne droite, une perpendiculaire est abaissée sur le plan, puis à travers le point d'intersection obtenu du plan et de la perpendiculaire et du point d'intersection du plan et de la ligne d'origine, tracez un ligne droite qui sera une projection.
Calculer les angles entre les lignes et les plans n'est pas une tâche difficile. Pour le résoudre, il suffit de connaître les équations des objets géométriques correspondants. Disons que ces équations ressemblent à ceci:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
L'angle désiré est facilement trouvé en utilisant la propriété du produit des vecteurs scalaires u¯ et n¯. La formule finale ressemble à ceci:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Cette formule dit que le sinus de l'angle entre une droite et un plan est égal au rapport du module du produit scalaire des vecteurs marqués au produit de leurs longueurs. Pour comprendre pourquoi le sinus est apparu au lieu du cosinus, passons à la figure ci-dessous.
On peut voir que si on applique la fonction cosinus, on obtiendra l'angle entre les vecteurs u¯ et n¯. L'angle souhaité θ (α sur la figure) est obtenu comme suit:
θ=90o- β.
Le sinus apparaît à la suite de l'application des formules de réduction.
Exemple de problème
Passons à l'utilisation pratique des connaissances acquises. Résolvons un problème typique sur l'angle entre une droite et un plan. Les coordonnées suivantes de quatre points sont données:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
On sait qu'à travers les points PQMun plan la traverse, et une droite passe par MN. En utilisant la méthode des coordonnées, l'angle entre le plan et la ligne doit être calculé.
D'abord, écrivons les équations de la droite et du plan. Pour une ligne droite, il est facile de la composer:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Pour faire l'équation du plan, on trouve d'abord la normale à celui-ci. Ses coordonnées sont égales au produit vectoriel de deux vecteurs situés dans le plan donné. Nous avons:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Substituons maintenant les coordonnées de n'importe quel point qui s'y trouve dans l'équation du plan général pour obtenir la valeur du terme libre D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
L'équation du plan est:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Il reste à appliquer la formule de l'angle formé à l'intersection d'une droite et d'un plan pour obtenir la réponse au problème. Nous avons:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
En utilisant ce problème comme exemple, nous avons montré comment utiliser la méthode des coordonnées pour résoudre des problèmes géométriques.
