Lors de la résolution de problèmes géométriques dans l'espace, il y a souvent ceux où il est nécessaire de calculer les angles entre différents objets spatiaux. Dans cet article, nous examinerons la question de la recherche d'angles entre des plans et entre eux et une ligne droite.
Ligne dans l'espace
On sait qu'absolument toute droite dans le plan peut être définie par l'égalité suivante:
y=ax + b
Ici a et b sont quelques nombres. Si nous représentons une ligne droite dans l'espace avec la même expression, alors nous obtenons un plan parallèle à l'axe z. Pour la définition mathématique de la ligne spatiale, une méthode de résolution différente est utilisée que dans le cas bidimensionnel. Elle consiste à utiliser la notion de "vecteur directeur".
Le vecteur directeur d'une droite montre son orientation dans l'espace. Ce paramètre appartient à la ligne. Puisqu'il existe un ensemble infini de vecteurs parallèles dans l'espace, alors pour déterminer de manière unique l'objet géométrique considéré, il est également nécessaire de connaître les coordonnées du point qui lui appartient.
Supposons qu'il y ale point P(x0; y0; z0) et le vecteur directeur v¯(a; b; c), alors l'équation d'une droite peut être donnée comme suit:
(x; y; z)=P + αv¯ ou
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Cette expression s'appelle l'équation vectorielle paramétrique d'une droite. Le coefficient α est un paramètre qui peut prendre absolument n'importe quelles valeurs réelles. Les coordonnées d'une ligne peuvent être représentées explicitement en développant cette égalité:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Équation du plan
Il existe plusieurs formes d'écriture d'une équation pour un plan dans l'espace. Ici, nous allons considérer l'un d'entre eux, qui est le plus souvent utilisé lors du calcul des angles entre deux plans ou entre l'un d'eux et une ligne droite.
Si un vecteur n¯(A; B; C) est connu, qui est perpendiculaire au plan désiré, et le point P(x0; y 0; z0), qui lui appartient, alors l'équation générale pour ce dernier est:
Ax + By + Cz + D=0 où D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Nous avons omis la dérivation de cette expression, qui est assez simple. Notons seulement ici que, connaissant les coefficients des variables dans l'équation du plan, on peut facilement trouver tous les vecteurs qui lui sont perpendiculaires. Ces dernières sont appelées normales et sont utilisées pour calculer les angles entre l'inclinaison et le plan et entreanalogues arbitraires.
L'emplacement des plans et la formule de l'angle entre eux
Disons qu'il y a deux avions. Quelles sont les options pour leur position relative dans l'espace. Puisque le plan a deux dimensions infinies et un zéro, seules deux options pour leur orientation mutuelle sont possibles:
- ils seront parallèles les uns aux autres;
- ils peuvent se chevaucher.
L'angle entre les plans est l'indice entre leurs vecteurs directeurs, c'est-à-dire entre leurs normales n1¯ et n2¯.
Évidemment, s'ils sont parallèles au plan, alors l'angle d'intersection est nul entre eux. S'ils se croisent, alors c'est différent de zéro, mais toujours pointu. Un cas particulier d'intersection sera l'angle 90o, lorsque les plans sont mutuellement perpendiculaires.
L'angle α entre n1¯ et n2¯ est facilement déterminé à partir du produit scalaire de ces vecteurs. Autrement dit, la formule a lieu:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Supposons que les coordonnées de ces vecteurs sont: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Ensuite, en utilisant les formules de calcul du produit scalaire et des modules de vecteurs par leurs coordonnées, l'expression ci-dessus peut être réécrite comme suit:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Le module au numérateur est apparu pour exclure les valeurs des angles obtus.
Exemples de résolution de problèmes pour déterminer l'angle d'intersection des plans
Sachant comment trouver l'angle entre les plans, nous allons résoudre le problème suivant. Deux plans sont donnés, dont les équations sont:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Quel est l'angle entre les plans ?
Pour répondre à la question du problème, rappelons que les coefficients des variables dans l'équation générale du plan sont les coordonnées du vecteur guide. Pour les plans indiqués, nous avons les coordonnées suivantes de leurs normales:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Maintenant nous trouvons le produit scalaire de ces vecteurs et de leurs modules, nous avons:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Maintenant, vous pouvez substituer les nombres trouvés dans la formule donnée dans le paragraphe précédent. Nous obtenons:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
La valeur résultante correspond à un angle aigu d'intersection des plans spécifiés dans la conditiontâches.
Considérons maintenant un autre exemple. Étant donné deux avions:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Est-ce qu'ils se croisent ? Écrivons les valeurs des coordonnées de leurs vecteurs directeurs, calculons leur produit scalaire et leurs modules:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Alors l'angle d'intersection est:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Cet angle indique que les plans ne se coupent pas, mais sont parallèles. Le fait qu'ils ne correspondent pas l'un à l'autre est facile à vérifier. Prenons pour cela un point quelconque appartenant au premier d'entre eux, par exemple P(0; 3; 2). Remplacez ses coordonnées dans la deuxième équation, nous obtenons:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
C'est-à-dire que le point P n'appartient qu'au premier plan.
Donc deux plans sont parallèles lorsque leurs normales le sont.
Plan et droite
Dans le cas où l'on considère la position relative entre un plan et une ligne droite, il y a plusieurs autres options qu'avec deux plans. Ce fait est lié au fait que la ligne droite est un objet unidimensionnel. La ligne et le plan peuvent être:
- mutuellement parallèles, dans ce cas le plan ne coupe pas la droite;
- ce dernier peut appartenir au plan, alors qu'il lui sera également parallèle;
- les deux objets peuventse croisent à un certain angle.
Considérons d'abord le dernier cas, car il nécessite l'introduction de la notion d'angle d'intersection.
Ligne et plan, l'angle entre eux
Si une droite coupe un plan, alors elle est dite inclinée par rapport à celui-ci. Le point d'intersection s'appelle la base de la pente. Pour déterminer l'angle entre ces objets géométriques, il est nécessaire d'abaisser une droite perpendiculaire au plan à partir de n'importe quel point. Ensuite, le point d'intersection de la perpendiculaire avec le plan et le point d'intersection de la ligne inclinée avec lui forment une ligne droite. Cette dernière est appelée la projection de la ligne d'origine sur le plan considéré. L'angle aigu entre la ligne et sa projection est celui requis.
Une définition quelque peu confuse de l'angle entre un plan et un oblique clarifiera la figure ci-dessous.
Ici l'angle ABO est l'angle entre la droite AB et le plan a.
Pour écrire la formule, considérons un exemple. Soit une ligne droite et un plan, qui sont décrits par les équations:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Il est facile de calculer l'angle souhaité pour ces objets si vous trouvez le produit scalaire entre les vecteurs directeurs de la ligne et du plan. L'angle aigu résultant doit être soustrait de 90o, puis il est obtenu entre une droite et un plan.
La figure ci-dessus montre l'algorithme décrit pour trouverangle considéré. Ici β est l'angle entre la normale et la ligne, et α est entre la ligne et sa projection sur le plan. On peut voir que leur somme est 90o.
Ci-dessus, une formule a été présentée qui répond à la question de savoir comment trouver un angle entre des plans. Donnons maintenant l'expression correspondante pour le cas d'une droite et d'un plan:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Le module dans la formule permet de calculer uniquement les angles aigus. La fonction arcsinus est apparue à la place de l'arccosinus en raison de l'utilisation de la formule de réduction correspondante entre les fonctions trigonométriques (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Problème: Un plan coupe une droite
Montrons maintenant comment travailler avec la formule ci-dessus. Résolvons le problème: il faut calculer l'angle entre l'axe des ordonnées et le plan donné par l'équation:
y - z + 12=0
Cet avion est montré dans l'image.
Vous pouvez voir qu'il coupe les axes y et z aux points (0; -12; 0) et (0; 0; 12), respectivement, et qu'il est parallèle à l'axe x.
Le vecteur directeur de la droite y a pour coordonnées (0; 1; 0). Un vecteur perpendiculaire à un plan donné est caractérisé par des coordonnées (0; 1; -1). On applique la formule de l'angle d'intersection d'une droite et d'un plan, on obtient:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Problème: droite parallèle au plan
Décidons maintenantsemblable au problème précédent, dont la question se pose différemment. Les équations du plan et de la droite sont connues:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Il faut savoir si ces objets géométriques sont parallèles entre eux.
Nous avons deux vecteurs: la direction de la droite est (0; 2; 2) et la direction du plan est (1; 1; -1). Trouvez leur produit scalaire:
01 + 12 - 12=0
Le zéro résultant indique que l'angle entre ces vecteurs est de 90o, ce qui prouve que la droite et le plan sont parallèles.
Vérifions maintenant si cette droite est uniquement parallèle ou se trouve également dans le plan. Pour ce faire, sélectionnez un point arbitraire sur la ligne et vérifiez s'il appartient au plan. Par exemple, prenons λ=0, alors le point P(1; 0; 0) appartient à la droite. Remplacer dans l'équation du plan P:
1 - 3=-2 ≠ 0
Le point P n'appartient pas au plan, ce qui signifie que la droite entière ne s'y trouve pas non plus.
Où est-il important de connaître les angles entre les objets géométriques considérés ?
Les formules ci-dessus et les exemples de résolution de problèmes n'ont pas seulement un intérêt théorique. Ils sont souvent utilisés pour déterminer des quantités physiques importantes de figures tridimensionnelles réelles, telles que des prismes ou des pyramides. Il est important de pouvoir déterminer l'angle entre les plans lors du calcul des volumes des figures et des aires de leurs surfaces. De plus, si dans le cas d'un prisme droit il est possible de ne pas utiliser ces formules pour déterminervaleurs spécifiées, alors pour tout type de pyramide, leur utilisation est inévitable.
Ci-dessous, considérons un exemple d'utilisation de la théorie ci-dessus pour déterminer les angles d'une pyramide à base carrée.
Pyramide et ses angles
La figure ci-dessous montre une pyramide, à la base de laquelle se trouve un carré de côté a. La hauteur de la figure est h. Besoin de trouver deux coins:
- entre la surface latérale et la base;
- entre la nervure latérale et la base.
Pour résoudre le problème, vous devez d'abord entrer le système de coordonnées et déterminer les paramètres des sommets correspondants. La figure montre que l'origine des coordonnées coïncide avec le point au centre de la base carrée. Dans ce cas, le plan de base est décrit par l'équation:
z=0
C'est-à-dire que pour tout x et y, la valeur de la troisième coordonnée est toujours zéro. Le plan latéral ABC coupe l'axe z au point B(0; 0; h) et l'axe y au point de coordonnées (0; a/2; 0). Il ne croise pas l'axe des x. Cela signifie que l'équation du plan ABC peut s'écrire:
y / (a / 2) + z / h=1 ou
2hy + az - ah=0
Vector AB¯ est un bord latéral. Ses coordonnées de début et de fin sont: A(a/2; a/2; 0) et B(0; 0; h). Puis les coordonnées du vecteur lui-même:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Nous avons trouvé toutes les équations et tous les vecteurs nécessaires. Il reste maintenant à utiliser les formules considérées.
Nous calculons d'abord dans la pyramide l'angle entre les plans de la baseet côté. Les vecteurs normaux correspondants sont: n1¯(0; 0; 1) et n2¯(0; 2h; a). Alors l'angle sera:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
L'angle entre le plan et l'arête AB sera:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Il reste à substituer les valeurs spécifiques du côté de la base a et de la hauteur h pour obtenir les angles requis.
