Equations planes. Angle entre deux plans

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

Un plan, avec un point et une ligne droite, est un élément géométrique de base. Avec son utilisation, de nombreuses figures de géométrie spatiale sont construites. Dans cet article, nous examinerons plus en détail la question de savoir comment trouver un angle entre deux plans.

Concept

Avant de parler de l'angle entre deux plans, vous devez bien comprendre de quel élément de géométrie nous parlons. Comprenons la terminologie. Un avion est une collection infinie de points dans l'espace, reliant lesquels nous obtenons des vecteurs. Ce dernier sera perpendiculaire à un vecteur. On l'appelle communément la normale au plan.

La figure ci-dessus montre un plan et deux vecteurs normaux. On peut voir que les deux vecteurs sont sur la même droite. L'angle entre eux est de 180o.

Équations

L'angle entre deux plans peut être déterminé si l'équation mathématique de l'élément géométrique considéré est connue. Il existe plusieurs types de telles équations,dont les noms sont listés ci-dessous:

• type général;
• vecteur;
• en segments.

Ces trois types sont les plus pratiques pour résoudre différents types de problèmes, ils sont donc le plus souvent utilisés.

Une équation de type général ressemble à ceci:

Ax + By + Cz + D=0.

Ici x, y, z sont les coordonnées d'un point arbitraire appartenant au plan donné. Les paramètres A, B, C et D sont des nombres. La commodité de cette notation réside dans le fait que les nombres A, B, C sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan.

La forme vectorielle du plan peut être représentée comme suit:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Ici (a₂, b₂, c₂) et (a ₁, b₁, c₁) - paramètres de deux vecteurs de coordonnées appartenant au plan considéré. Le point (x₀, y₀, z_{0) se trouve également dans ce plan. Les paramètres α et β peuvent prendre des valeurs indépendantes et arbitraires.}

Enfin, l'équation du plan en segments est représentée sous la forme mathématique suivante:

x/p + y/q + z/l=1.

Ici p, q, l sont des nombres spécifiques (y compris les nombres négatifs). Ce type d'équation est utile lorsqu'il est nécessaire de représenter un plan dans un repère rectangulaire, puisque les nombres p, q, l indiquent les points d'intersection avec les axes x, y et zavion.

Notez que chaque type d'équation peut être converti en n'importe quel autre à l'aide d'opérations mathématiques simples.

Formule pour l'angle entre deux plans

Considérons maintenant la nuance suivante. Dans l'espace tridimensionnel, deux plans ne peuvent être localisés que de deux manières. Se coupent ou soient parallèles. Entre deux plans, l'angle est ce qui se situe entre leurs vecteurs guides (normal). Se coupant, 2 vecteurs forment 2 angles (aigu et obtus dans le cas général). L'angle entre les plans est considéré comme aigu. Considérez l'équation.

La formule de l'angle entre deux plans est:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Il est facile de deviner que cette expression est une conséquence directe du produit scalaire des vecteurs normaux n₁¯ et n₂ ¯ pour les avions considérés. Le module du produit scalaire au numérateur indique que l'angle θ ne prendra des valeurs que de 0^o à 90^{o. Le produit des modules des vecteurs normaux au dénominateur signifie le produit de leurs longueurs.}

Remarque, si (n₁¯n_{2¯)=0, alors les plans se coupent à angle droit.}

Exemple de problème

Ayant compris ce qu'on appelle l'angle entre deux plans, nous allons résoudre le problème suivant. Par exemple. Il est donc nécessaire de calculer l'angle entre ces plans:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Pour résoudre le problème, vous devez connaître les vecteurs directeurs des plans. Pour le premier plan, le vecteur normal est: n₁¯=(2, -3, 0). Pour trouver le vecteur normal du second plan, il faut multiplier les vecteurs après les paramètres α et β. Le résultat est un vecteur: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Pour déterminer l'angle θ, nous utilisons la formule du paragraphe précédent. Nous obtenons:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

L'angle calculé en radians correspond à 31,26^o. Ainsi, les plans de la condition du problème se coupent à un angle de 31, 26^o.