L'un des axiomes de la géométrie stipule qu'à travers deux points quelconques, il est possible de tracer une seule ligne droite. Cet axiome témoigne qu'il existe une expression numérique unique qui décrit de manière unique l'objet géométrique unidimensionnel spécifié. Considérez dans l'article la question de savoir comment écrire l'équation d'une ligne droite passant par deux points.
Qu'est-ce qu'un point et une droite ?
Avant de se poser la question de la construction dans l'espace et dans le plan d'une droite d'une équation passant par deux points différents, il convient de définir les objets géométriques spécifiés.
Un point est déterminé de manière unique par un ensemble de coordonnées dans un système donné d'axes de coordonnées. En plus d'eux, il n'y a plus de caractéristiques pour le point. Elle est un objet de dimension zéro.
Quand on parle de ligne droite, chacun imagine une ligne représentée sur une feuille de papier blanc. En même temps, il est possible de donner une définition géométrique exactecet objet. Une droite est un tel ensemble de points pour lesquels la connexion de chacun d'eux avec tous les autres donnera un ensemble de vecteurs parallèles.
Cette définition est utilisée lors de la définition de l'équation vectorielle d'une ligne droite, qui sera discutée ci-dessous.
Puisque n'importe quelle ligne peut être marquée avec un segment de longueur arbitraire, on dit qu'il s'agit d'un objet géométrique unidimensionnel.
Fonction vecteur nombre
Une équation passant par deux points d'une droite passante peut être écrite sous différentes formes. Dans les espaces tridimensionnels et bidimensionnels, l'expression numérique principale et intuitivement compréhensible est un vecteur.
Supposons qu'il existe un segment orienté u¯(a; b; c). Dans l'espace 3D, le vecteur u¯ peut commencer à n'importe quel point, donc ses coordonnées définissent un ensemble infini de vecteurs parallèles. Cependant, si nous choisissons un point spécifique P(x0; y0; z0) et posons comme début du vecteur u¯, alors, en multipliant ce vecteur par un nombre réel arbitraire λ, on peut obtenir tous les points d'une droite dans l'espace. Autrement dit, l'équation vectorielle s'écrira comme suit:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Évidemment, pour le cas sur le plan, la fonction numérique prend la forme:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
L'avantage de ce type d'équation par rapport aux autres (en segments, canonique,forme générale) réside dans le fait qu'il contient explicitement les coordonnées du vecteur directeur. Ce dernier est souvent utilisé pour déterminer si les lignes sont parallèles ou perpendiculaires.
Général en segments et fonction canonique pour une droite dans un espace à deux dimensions
Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez parfois écrire l'équation d'une ligne droite passant par deux points sous une certaine forme spécifique. Par conséquent, d'autres façons de spécifier cet objet géométrique dans un espace à deux dimensions doivent être données (pour simplifier, nous considérons le cas sur le plan).
Commençons par une équation générale. Il a la forme:
Ax + By + C=0
En règle générale, sur le plan, l'équation d'une droite s'écrit sous cette forme, seul y est explicitement défini par x.
Transformez maintenant l'expression ci-dessus comme suit:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Cette expression s'appelle une équation en segments, car le dénominateur de chaque variable indique la longueur du segment de ligne sur l'axe de coordonnées correspondant par rapport au point de départ (0; 0).
Il reste à donner un exemple d'équation canonique. Pour ce faire, on écrit explicitement l'égalité vectorielle:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Exprimons le paramètre λ à partir d'ici et assimilons les égalités résultantes:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
La dernière égalité est appelée l'équation sous forme canonique ou symétrique.
Chacun d'entre eux peut être converti en vecteur et vice versa.
L'équation d'une droite passant par deux points: une technique de compilation
Retour à la question de l'article. Supposons qu'il y ait deux points dans l'espace:
M(x1; y1; z1) et N(x 2; y2; z2)
La seule ligne droite les traverse, dont l'équation est très facile à composer sous forme vectorielle. Pour cela, on calcule les coordonnées du segment orienté MN¯, on a:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Il n'est pas difficile de deviner que ce vecteur sera le guide de la droite dont il faut obtenir l'équation. Sachant qu'il passe également par M et N, vous pouvez utiliser les coordonnées de n'importe lequel d'entre eux pour une expression vectorielle. Alors l'équation désirée prend la forme:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Pour le cas dans un espace à deux dimensions, on obtient une égalité similaire sans la participation de la variable z.
Dès que l'égalité vectorielle de la ligne est écrite, elle peut être traduite sous toute autre forme que la question du problème requiert.
Tâche:écrire une équation générale
On sait qu'une droite passe par les points de coordonnées (-1; 4) et (3; 2). Il faut composer l'équation d'une droite passant par eux, sous une forme générale, exprimant y en fonction de x.
Pour résoudre le problème, nous écrivons d'abord l'équation sous forme vectorielle. Les coordonnées du vecteur (guide) sont:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Alors la forme vectorielle de l'équation de la droite est la suivante:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Il reste à l'écrire sous forme générale sous la forme y(x). Nous réécrivons explicitement cette égalité, exprimons le paramètre λ et l'excluons de l'équation:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
De l'équation canonique résultante, nous exprimons y et arrivons à la réponse à la question du problème:
y=-0.5x + 3.5
La validité de cette égalité peut être vérifiée en substituant les coordonnées des points spécifiés dans l'énoncé du problème.
Problème: une ligne droite passant par le centre du segment
Résolvons maintenant un problème intéressant. Supposons que deux points M(2; 1) et N(5; 0) soient donnés. On sait qu'une droite passe par le milieu du segment qui relie les points et lui est perpendiculaire. Écrivez l'équation d'une droite passant par le milieu du segment sous forme vectorielle.
L'expression numérique souhaitée peut être formée en calculant la coordonnée de ce centre et en déterminant le vecteur de direction, quile segment fait un angle de 90o.
Le milieu du segment est:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Calculons maintenant les coordonnées du vecteur MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Comme le vecteur directeur de la ligne recherchée est perpendiculaire à MN¯, leur produit scalaire est égal à zéro. Cela vous permet de calculer les coordonnées inconnues (a; b) du vecteur de direction:
a3 - b=0=>
b=3a
Ecrivez maintenant l'équation vectorielle:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Ici nous avons remplacé le produit aλ par un nouveau paramètre β.
Ainsi, nous avons fait l'équation d'une droite passant par le centre du segment.
