Un concept important en mathématiques est une fonction. Avec son aide, vous pouvez visualiser de nombreux processus se produisant dans la nature, refléter la relation entre certaines quantités à l'aide de formules, de tableaux et d'images sur un graphique. Un exemple est la dépendance de la pression d'une couche liquide sur un corps sur la profondeur d'immersion, l'accélération - sur l'action d'une certaine force sur un objet, l'augmentation de la température - sur l'énergie transmise, et de nombreux autres processus. L'étude d'une fonction implique la construction d'un graphique, la clarification de ses propriétés, la portée et les valeurs, les intervalles d'augmentation et de diminution. Un point important dans ce processus est de trouver les points extrêmes. À propos de la façon de bien faire les choses, et la conversation se poursuivra.
À propos du concept lui-même sur un exemple spécifique
En médecine, tracer un graphique de fonction peut indiquer la progression d'une maladie dans le corps d'un patient, reflétant visuellement son état. Supposons que le temps en jours est tracé le long de l'axe OX et que la température du corps humain est tracée le long de l'axe OY. La figure montre clairement comment cet indicateur augmente fortement, etpuis ça tombe. Il est également facile de remarquer des points singuliers qui reflètent les moments où la fonction, ayant précédemment augmenté, commence à diminuer, et vice versa. Ce sont les points extrêmes, c'est-à-dire les valeurs critiques (maximum et minimum) dans ce cas de la température du patient, après quoi des changements dans son état se produisent.
Angle d'inclinaison
Il est facile de déterminer à partir de la figure comment la dérivée d'une fonction change. Si les lignes droites du graphique augmentent avec le temps, alors c'est positif. Et plus ils sont raides, plus la valeur de la dérivée est grande, à mesure que l'angle d'inclinaison augmente. Pendant les périodes de diminution, cette valeur prend des valeurs négatives, virant à zéro aux points extrêmes, et le graphique de la dérivée dans ce dernier cas est tracé parallèlement à l'axe OX.
Tout autre processus doit être traité de la même manière. Mais la meilleure chose à propos de ce concept peut indiquer le mouvement de divers corps, clairement indiqué sur les graphiques.
Mouvement
Supposons qu'un objet se déplace en ligne droite, gagnant de la vitesse uniformément. Pendant cette période, le changement des coordonnées du corps représente graphiquement une certaine courbe, qu'un mathématicien appellerait une branche d'une parabole. Dans le même temps, la fonction augmente constamment, car les indicateurs de coordonnées changent de plus en plus vite à chaque seconde. Le graphique de vitesse montre le comportement de la dérivée, dont la valeur augmente également. Cela signifie que le mouvement n'a pas de points critiques.
Ça aurait continué indéfiniment. Mais si le corps décide soudainement de ralentir, arrêtez-vous et commencez à bouger dans un autredirection? Dans ce cas, les indicateurs de coordonnées commenceront à diminuer. Et la fonction passera la valeur critique et passera de l'augmentation à la diminution.
Dans cet exemple, vous pouvez à nouveau comprendre que les points extrêmes sur le graphe de la fonction apparaissent aux moments où il cesse d'être monotone.
Signification physique de la dérivée
Décrit précédemment a clairement montré que la dérivée est essentiellement le taux de variation de la fonction. Ce raffinement contient sa signification physique. Les points extrêmes sont des zones critiques sur le graphique. Il est possible de les découvrir et de les détecter en calculant la valeur de la dérivée, qui s'avère être égale à zéro.
Il y a un autre signe, qui est une condition suffisante pour un extremum. La dérivée dans de tels lieux d'inflexion change de signe: de "+" à "-" dans la région du maximum et de "-" à "+" dans la région du minimum.
Mouvement sous l'influence de la gravité
Imaginons une autre situation. Les enfants, jouant au ballon, l'ont jeté de telle manière qu'il a commencé à se déplacer en biais par rapport à l'horizon. Au moment initial, la vitesse de cet objet était la plus grande, mais sous l'influence de la gravité, elle a commencé à diminuer, et à chaque seconde de la même valeur, égale à environ 9,8 m/s2. C'est la valeur de l'accélération qui se produit sous l'influence de la gravité terrestre lors d'une chute libre. Sur la Lune, il serait environ six fois plus petit.
Le graphe décrivant le mouvement du corps est une parabole à branches,vers le bas. Comment trouver les points extrêmes ? Dans ce cas, il s'agit du sommet de la fonction, où la vitesse du corps (balle) prend une valeur nulle. La dérivée de la fonction devient nulle. Dans ce cas, le sens, et donc la valeur de la vitesse, change en sens inverse. Le corps descend à chaque seconde de plus en plus vite et accélère de la même quantité - 9,8 m/s2.
Dérivée seconde
Dans le cas précédent, le graphique du module de vitesse est tracé comme une ligne droite. Cette ligne est d'abord dirigée vers le bas, puisque la valeur de cette quantité est constamment décroissante. Ayant atteint zéro à l'un des points dans le temps, les indicateurs de cette valeur commencent à augmenter et la direction de la représentation graphique du module de vitesse change radicalement. La ligne pointe maintenant vers le haut.
Velocity, étant la dérivée temporelle de la coordonnée, a également un point critique. Dans cette région, la fonction, initialement décroissante, commence à augmenter. C'est le lieu du point extrême de la dérivée de la fonction. Dans ce cas, la pente de la tangente devient nulle. Et l'accélération, étant la dérivée seconde de la coordonnée par rapport au temps, change de signe de "-" à "+". Et le mouvement d'uniformément lent devient uniformément accéléré.
Tableau d'accélération
Considérez maintenant quatre images. Chacun d'eux affiche un graphique de l'évolution dans le temps d'une grandeur physique telle que l'accélération. Dans le cas de "A", sa valeur reste positive et constante. Cela signifie que la vitesse du corps, comme sa coordonnée, augmente constamment. Si unimaginons que l'objet se déplace de cette manière pendant un temps infiniment long, la fonction reflétant la dépendance de la coordonnée au temps se révélera constamment croissante. Il s'ensuit qu'il n'a pas de régions critiques. Il n'y a pas non plus de points extrêmes sur le graphique de la dérivée, c'est-à-dire une vitesse changeant linéairement.
Il en va de même pour le cas "B" avec une accélération positive et en augmentation constante. Certes, les tracés des coordonnées et de la vitesse seront un peu plus compliqués ici.
Lorsque l'accélération tend vers zéro
En regardant l'image "B", vous pouvez voir une image complètement différente qui caractérise le mouvement du corps. Sa vitesse sera représentée graphiquement comme une parabole avec des branches pointant vers le bas. Si nous continuons la ligne décrivant le changement d'accélération jusqu'à ce qu'elle coupe l'axe OX, et plus loin, alors nous pouvons imaginer que jusqu'à cette valeur critique, où l'accélération s'avère être égale à zéro, la vitesse de l'objet augmentera de plus en plus lentement. Le point extrême de la dérivée de la fonction coordonnée sera juste au sommet de la parabole, après quoi le corps changera radicalement la nature du mouvement et commencera à se déplacer dans l'autre sens.
Dans ce dernier cas, "G", la nature du mouvement ne peut être déterminée avec précision. Ici, nous savons seulement qu'il n'y a pas d'accélération pendant une certaine période considérée. Cela signifie que l'objet peut rester en place ou que le mouvement se produit à une vitesse constante.
Tâche d'ajout de coordonnées
Passons aux tâches que l'on retrouve souvent dans l'étude de l'algèbre à l'école et qui sont proposées pourpréparation à l'examen. La figure ci-dessous montre le graphique de la fonction. Il est nécessaire de calculer la somme des points extrêmes.
Faisons-le pour l'axe des ordonnées en déterminant les coordonnées des régions critiques où un changement dans les caractéristiques de la fonction est observé. En termes simples, nous trouvons les valeurs le long de l'axe des x pour les points d'inflexion, puis procédons à l'ajout des termes résultants. D'après le graphique, il est évident qu'ils prennent les valeurs suivantes: -8; -7; -5; -3; -2; une; 3. Cela fait un total de -21, qui est la réponse.
Solution optimale
Il n'est pas nécessaire d'expliquer à quel point le choix de la solution optimale peut être important dans l'exécution de tâches pratiques. Après tout, il existe de nombreuses façons d'atteindre l'objectif, et la meilleure solution, en règle générale, n'en est qu'une. Cela est extrêmement nécessaire, par exemple, lors de la conception de navires, d'engins spatiaux et d'avions, de structures architecturales pour trouver la forme optimale de ces objets fabriqués par l'homme.
La vitesse des véhicules dépend en grande partie de la minimisation compétente de la résistance qu'ils subissent lorsqu'ils se déplacent dans l'eau et dans l'air, des surcharges résultant de l'influence des forces gravitationnelles et de nombreux autres indicateurs. Un navire en mer a besoin de qualités telles que la stabilité lors d'une tempête; pour un navire fluvial, un tirant d'eau minimum est important. Lors du calcul de la conception optimale, les points extrêmes sur le graphique peuvent visuellement donner une idée de la meilleure solution à un problème complexe. Les tâches de ce genre sont souventsont résolus dans l'économie, dans les domaines économiques, dans de nombreuses autres situations de la vie.
De l'histoire ancienne
Des problèmes extrêmes occupaient même les anciens sages. Les scientifiques grecs ont réussi à percer le mystère des surfaces et des volumes grâce à des calculs mathématiques. Ils ont été les premiers à comprendre que sur un plan de différentes figures de même périmètre, le cercle a toujours la plus grande aire. De même, une boule est dotée du volume maximum parmi d'autres objets dans l'espace avec la même surface. Des personnalités célèbres comme Archimède, Euclide, Aristote, Apollonius se sont consacrées à résoudre de tels problèmes. Heron a très bien réussi à trouver des points extrêmes, qui, ayant eu recours à des calculs, ont construit des appareils ingénieux. Il s'agit notamment de machines automatiques se déplaçant au moyen de vapeur, de pompes et de turbines fonctionnant sur le même principe.
Construction de Carthage
Il y a une légende dont l'intrigue est basée sur la résolution d'un des problèmes extrêmes. Le résultat de l'approche commerciale démontrée par la princesse phénicienne, qui s'est tournée vers les sages pour obtenir de l'aide, a été la construction de Carthage. Le terrain de cette ville ancienne et célèbre a été présenté à Dido (c'était le nom du souverain) par le chef d'une des tribus africaines. La superficie du lotissement ne lui semblait pas au premier abord très grande, puisque selon le contrat elle devait être recouverte d'une peau de bœuf. Mais la princesse ordonna à ses soldats de le couper en fines lanières et d'en faire une ceinture. Il s'est avéré être si long qu'il couvrait le site,où toute la ville s'intègre.
Les origines du calcul différentiel
Et maintenant, passons des temps anciens à une époque ultérieure. Fait intéressant, au 17ème siècle, Kepler a été incité à comprendre les fondements de l'analyse mathématique par une rencontre avec un vendeur de vin. Le marchand connaissait si bien son métier qu'il pouvait facilement déterminer le volume de la boisson dans le baril en y abaissant simplement un garrot de fer. Réfléchissant à une telle curiosité, le célèbre scientifique a réussi à résoudre lui-même ce dilemme. Il s'avère que les tonneliers habiles de l'époque avaient l'habitude de fabriquer des récipients de telle manière qu'à une certaine hauteur et un certain rayon de la circonférence des anneaux de fixation, ils auraient une capacité maximale.
C'était pour Kepler une raison de réflexion plus approfondie. Les Bochars sont arrivés à la solution optimale par une longue recherche, des erreurs et de nouvelles tentatives, transmettant leur expérience de génération en génération. Mais Kepler voulait accélérer le processus et apprendre à faire de même en peu de temps grâce à des calculs mathématiques. Tous ses développements, repris par des collègues, se sont transformés en théorèmes désormais connus de Fermat et Newton - Leibniz.
Problème de surface maximale
Imaginons que nous ayons un fil d'une longueur de 50 cm. Comment en faire un rectangle avec la plus grande surface ?
Pour prendre une décision, il faut partir de vérités simples et connues. Il est clair que le périmètre de notre figure sera de 50 cm et comprend également deux fois la longueur des deux côtés. Cela signifie que, après avoir désigné l'un d'eux comme "X", l'autre peut être exprimé comme (25 - X).
À partir de là, nous obtenonsune surface égale à X (25 - X). Cette expression peut être représentée comme une fonction qui prend plusieurs valeurs. La solution du problème nécessite de trouver le maximum d'entre eux, ce qui signifie que vous devez trouver les points extrêmes.
Pour ce faire, on trouve la première dérivée et on l'assimile à zéro. Le résultat est une équation simple: 25 - 2X=0.
De là, nous apprenons que l'un des côtés X=12, 5.
Donc, un autre: 25 – 12, 5=12, 5.
Il s'avère que la solution au problème sera un carré de 12,5 cm de côté.
Comment trouver la vitesse maximale
Prenons un autre exemple. Imaginez qu'il existe un corps dont le mouvement rectiligne est décrit par l'équation S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, où la distance parcouru est exprimé en mètres, et le temps est en secondes. Il est nécessaire de trouver la vitesse maximale. Comment faire? Téléchargé trouver la vitesse, c'est-à-dire la dérivée première.
Nous obtenons l'équation: V=- 3t2 + 18t – 24. Maintenant, pour résoudre le problème, nous devons à nouveau trouver les points extrêmes. Cela doit être fait de la même manière que dans la tâche précédente. Trouver la dérivée première de la vitesse et l'assimiler à zéro.
On obtient: - 6t + 18=0. Donc t=3 s. C'est le moment où la vitesse du corps prend une valeur critique. Nous substituons les données obtenues dans l'équation de vitesse et obtenons: V=3 m/s.
Mais comment comprendre qu'il s'agit exactement de la vitesse maximale, car les points critiques d'une fonction peuvent être ses valeurs maximales ou minimales ? Pour vérifier, vous devez trouver un deuxièmedérivée de la vitesse. Il est exprimé par le nombre 6 avec un signe moins. Cela signifie que le point trouvé est le maximum. Et dans le cas d'une valeur positive de la dérivée seconde, il y aurait un minimum. Ainsi, la solution trouvée s'est avérée correcte.
Les tâches données en exemple ne sont qu'une partie de celles qui peuvent être résolues en étant capable de trouver les points extrêmes d'une fonction. En fait, il y en a beaucoup plus. Et une telle connaissance ouvre des possibilités illimitées pour la civilisation humaine.
