Pour trouver les fonctions de distribution des variables aléatoires et de leurs variables, il est nécessaire d'étudier toutes les caractéristiques de ce domaine de connaissance. Il existe plusieurs méthodes différentes pour trouver les valeurs en question, y compris la modification d'une variable et la génération d'un moment. La distribution est un concept basé sur des éléments tels que la dispersion, les variations. Cependant, ils ne caractérisent que le degré d'amplitude de diffusion.
Les fonctions les plus importantes des variables aléatoires sont celles qui sont liées et indépendantes, et également distribuées. Par exemple, si X1 est le poids d'un individu sélectionné au hasard dans une population masculine, X2 est le poids d'un autre, …, et Xn est le poids d'une personne de plus dans la population masculine, alors nous devons savoir comment la fonction aléatoire X est distribué. Dans ce cas, le théorème classique appelé théorème central limite s'applique. Elle permet de montrer que pour n grand la fonction suit des distributions standard.
Fonctions d'une variable aléatoire
Le théorème central limite sert à approximer les valeurs discrètes considérées comme le binôme et Poisson. Les fonctions de distribution de variables aléatoires sont considérées, tout d'abord, sur des valeurs simples d'une variable. Par exemple, si X est une variable aléatoire continue ayant sa propre distribution de probabilité. Dans ce cas, nous explorons comment trouver la fonction de densité de Y en utilisant deux approches différentes, à savoir la méthode de la fonction de distribution et le changement de variable. Premièrement, seules les valeurs un à un sont prises en compte. Ensuite, vous devez modifier la technique de modification de la variable pour trouver sa probabilité. Enfin, nous devons apprendre comment la fonction de distribution cumulative inverse peut aider à modéliser des nombres aléatoires qui suivent certains modèles séquentiels.
Méthode de distribution des valeurs considérées
La méthode de la fonction de distribution de probabilité d'une variable aléatoire est applicable afin de trouver sa densité. Lorsque vous utilisez cette méthode, une valeur cumulée est calculée. Ensuite, en le différenciant, vous pouvez obtenir la densité de probabilité. Maintenant que nous avons la méthode de la fonction de distribution, nous pouvons examiner quelques exemples supplémentaires. Soit X une variable aléatoire continue avec une certaine densité de probabilité.
Quelle est la fonction de densité de probabilité de x2 ? Si vous regardez ou représentez graphiquement la fonction (en haut et à droite) y \u003d x2, vous pouvez remarquer qu'il s'agit d'un X croissant et 0 <y<1. Vous devez maintenant utiliser la méthode considérée pour trouver Y. Tout d'abord, la fonction de distribution cumulative est trouvée, il vous suffit de la différencier pour obtenir la densité de probabilité. Ce faisant, nous obtenons: 0<y<1. La méthode de distribution a été implémentée avec succès pour trouver Y lorsque Y est une fonction croissante de X. Soit dit en passant, f(y) s'intègre dans 1 sur y.
Dans le dernier exemple, un grand soin a été utilisé pour indexer les fonctions cumulatives et la densité de probabilité avec X ou Y pour indiquer à quelle variable aléatoire elles appartenaient. Par exemple, lors de la recherche de la fonction de distribution cumulative de Y, nous avons obtenu X. Si vous avez besoin de trouver une variable aléatoire X et sa densité, il vous suffit de la différencier.
Technique de changement de variable
Soit X une variable aléatoire continue donnée par une fonction de distribution avec un dénominateur commun f (x). Dans ce cas, si vous mettez la valeur de y dans X=v (Y), alors vous obtenez la valeur de x, par exemple v (y). Maintenant, nous devons obtenir la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue Y. Où la première et la deuxième égalité ont lieu à partir de la définition de Y cumulatif. La troisième égalité tient parce que la partie de la fonction pour laquelle u (X) ≦ y est aussi vrai que X ≦ v (Y). Et le dernier est fait pour déterminer la probabilité dans une variable aléatoire continue X. Nous devons maintenant prendre la dérivée de FY (y), la fonction de distribution cumulative de Y, pour obtenir la densité de probabilité Y.
Généralisation pour la fonction de diminution
Soit X une variable aléatoire continue avec f commun (x) défini sur c1<x<c2. Et soit Y=u (X) une fonction décroissante de X d'inverse X=v (Y). Puisque la fonction est continue et décroissante, il existe une fonction inverse X=v (Y).
Pour résoudre ce problème, vous pouvez collecter des données quantitatives et utiliser la fonction de distribution cumulative empirique. Avec ces informations et en faisant appel à elles, vous devez combiner des échantillons moyens, des écarts types, des données multimédias, etc.
De même, même un modèle probabiliste assez simple peut avoir un grand nombre de résultats. Par exemple, si vous lancez une pièce 332 fois. Ensuite, le nombre de résultats obtenus à partir de flips est supérieur à celui de google (10100) - un nombre, mais pas moins de 100 quintillions de fois supérieur aux particules élémentaires de l'univers connu. Pas intéressé par une analyse qui donne une réponse à tous les résultats possibles. Un concept plus simple serait nécessaire, tel que le nombre de têtes ou le plus long coup de pile. Pour se concentrer sur les questions d'intérêt, un résultat spécifique est accepté. La définition dans ce cas est la suivante: une variable aléatoire est une fonction réelle avec un espace de probabilité.
La plage S d'une variable aléatoire est parfois appelée l'espace d'état. Ainsi, si X est la valeur en question, alors N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, et ainsi de suite. La dernière d'entre elles, arrondissant X au nombre entier le plus proche, est appelée la fonction de plancher.
Fonctions de distribution
Une fois que la fonction de distribution d'intérêt pour une variable aléatoire x est déterminée, la question devient généralement: "Quelles sont les chances que X tombe dans un sous-ensemble de valeurs B ?". Par exemple, B={nombres impairs}, B={supérieur à 1} ou B={entre 2 et 7} pour indiquer les résultats qui ont X, la valeurvariable aléatoire, dans le sous-ensemble A. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, vous pouvez décrire les événements comme suit.
{X est un nombre impair}, {X est supérieur à 1}={X> 1}, {X est compris entre 2 et 7}={2 <X <7} pour correspondre aux trois options ci-dessus pour le sous-ensemble B. De nombreuses propriétés de quantités aléatoires ne sont pas liées à un X particulier. Elles dépendent plutôt de la manière dont X alloue ses valeurs. Cela conduit à une définition qui ressemble à ceci: la fonction de distribution d'une variable aléatoire x est cumulative et est déterminée par des observations quantitatives.
Variables aléatoires et fonctions de distribution
Ainsi, vous pouvez calculer la probabilité que la fonction de distribution d'une variable aléatoire x prenne des valeurs dans l'intervalle par soustraction. Pensez à inclure ou à exclure des terminaux.
On appellera une variable aléatoire discrète si elle a un espace d'état fini ou dénombrable infini. Ainsi, X est le nombre de faces sur trois lancers indépendants d'une pièce biaisée qui monte avec la probabilité p. Nous devons trouver la fonction de distribution cumulative d'une variable aléatoire discrète FX pour X. Soit X le nombre de pics dans une collection de trois cartes. Alors Y=X3 via FX. FX commence à 0, se termine à 1 et ne diminue pas à mesure que les valeurs x augmentent. La fonction de distribution FX cumulative d'une variable aléatoire discrète X est constante, sauf pour les sauts. Lors du saut, le FX est continu. Démontrer l'énoncé sur le bonla continuité de la fonction de distribution à partir de la propriété de probabilité est possible en utilisant la définition. Cela ressemble à ceci: une variable aléatoire constante a un effet cumulatif différentiable.
Pour montrer comment cela peut se produire, nous pouvons donner un exemple: une cible avec un rayon unitaire. Probablement. la fléchette est uniformément répartie sur la zone spécifiée. Pour certains λ> 0. Ainsi, les fonctions de distribution des variables aléatoires continues augmentent en douceur. FX a les propriétés d'une fonction de distribution.
Un homme attend à l'arrêt de bus jusqu'à ce que le bus arrive. Ayant décidé lui-même qu'il refusera lorsque l'attente atteindra 20 minutes. Ici, il est nécessaire de trouver la fonction de distribution cumulative pour T. L'heure à laquelle une personne sera encore à la gare routière ou ne partira pas. Malgré le fait que la fonction de distribution cumulative est définie pour chaque variable aléatoire. Tout de même, d'autres caractéristiques seront assez souvent utilisées: la masse pour une variable discrète et la fonction de densité de distribution d'une variable aléatoire. Habituellement, la valeur est sortie via l'une de ces deux valeurs.
Fonctions de masse
Ces valeurs sont considérées par les propriétés suivantes, qui ont un caractère général (de masse). La première repose sur le fait que les probabilités ne sont pas négatives. La seconde découle de l'observation que l'ensemble pour tout x=2S, l'espace d'états de X, forme une partition de la liberté probabiliste de X. Exemple: lancer une pièce biaisée dont les résultats sont indépendants. Vous pouvez continuer à fairecertaines actions jusqu'à ce que vous obteniez un rouleau de têtes. Soit X une variable aléatoire qui donne le nombre de queues devant la première tête. Et p désigne la probabilité d'une action donnée.
Ainsi, la fonction de probabilité de masse a les caractéristiques suivantes. Parce que les termes forment une séquence numérique, X est appelé une variable aléatoire géométrique. Schéma géométrique c, cr, cr2,.,,, crn a une somme. Et, par conséquent, sn a une limite lorsque n 1. Dans ce cas, la somme infinie est la limite.
La fonction de masse ci-dessus forme une séquence géométrique avec un rapport. Par conséquent, les nombres naturels a et b. La différence des valeurs dans la fonction de distribution est égale à la valeur de la fonction de masse.
Les valeurs de densité considérées ont une définition: X est une variable aléatoire dont la distribution FX a une dérivée. FX satisfaisant Z xFX (x)=fX (t) dt-1 est appelée la fonction de densité de probabilité. Et X est appelé une variable aléatoire continue. Dans le théorème fondamental du calcul différentiel, la fonction de densité est la dérivée de la distribution. Vous pouvez calculer des probabilités en calculant des intégrales définies.
Étant donné que les données sont collectées à partir de plusieurs observations, plusieurs variables aléatoires à la fois doivent être prises en compte pour modéliser les procédures expérimentales. Par conséquent, l'ensemble de ces valeurs et leur distribution conjointe pour les deux variables X1 et X2 signifie la visualisation d'événements. Pour les variables aléatoires discrètes, des fonctions de masse probabilistes conjointes sont définies. Pour les continus, fX1, X2 sont considérés, oùla densité de probabilité conjointe est satisfaite.
Variables aléatoires indépendantes
Deux variables aléatoires X1 et X2 sont indépendantes si deux événements quelconques qui leur sont associés sont identiques. Autrement dit, la probabilité que deux événements {X1 2 B1} et {X2 2 B2} se produisent en même temps, y, est égale au produit des variables ci-dessus, que chacun d'eux se produise individuellement. Pour les variables aléatoires discrètes indépendantes, il existe une fonction de masse probabiliste conjointe, qui est le produit du volume ionique limite. Pour les variables aléatoires continues qui sont indépendantes, la fonction de densité de probabilité conjointe est le produit des valeurs de densité marginale. Enfin, nous considérons n observations indépendantes x1, x2,.,,, xn provenant d'une fonction de densité ou de masse inconnue f. Par exemple, un paramètre inconnu dans les fonctions d'une variable aléatoire exponentielle décrivant le temps d'attente d'un bus.
Imitation de variables aléatoires
L'objectif principal de ce domaine théorique est de fournir les outils nécessaires pour développer des procédures d'inférence basées sur des principes solides de la science statistique. Ainsi, un cas d'utilisation très important pour les logiciels est la capacité à générer des pseudo-données pour imiter les informations réelles. Cela permet de tester et d'améliorer les méthodes d'analyse avant de devoir les utiliser dans des bases de données réelles. Ceci est nécessaire pour explorer les propriétés des données à traversla modélisation. Pour de nombreuses familles de variables aléatoires couramment utilisées, R fournit des commandes pour les générer. Dans d'autres circonstances, des méthodes de modélisation d'une séquence de variables aléatoires indépendantes ayant une distribution commune seront nécessaires.
Variables aléatoires discrètes et modèle de commande. La commande sample est utilisée pour créer des échantillons aléatoires simples et stratifiés. Par conséquent, si une séquence x est entrée, sample(x, 40) sélectionne 40 enregistrements de x de sorte que tous les choix de taille 40 aient la même probabilité. Cela utilise la commande R par défaut pour récupérer sans remplacement. Peut également être utilisé pour modéliser des variables aléatoires discrètes. Pour ce faire, vous devez fournir un espace d'état dans le vecteur x et la fonction de masse f. Un appel à replace=TRUE indique que l'échantillonnage se produit avec remplacement. Ensuite, pour donner un échantillon de n variables aléatoires indépendantes qui ont une fonction de masse commune f, l'échantillon (x, n, replace=TRUE, prob=f) est utilisé.
Déterminé que 1 est la plus petite valeur représentée et 4 est la plus grande de toutes. Si la commande prob=f est omise, l'échantillon échantillonnera uniformément à partir des valeurs du vecteur x. Vous pouvez vérifier la simulation par rapport à la fonction de masse qui a généré les données en regardant le double signe égal,==. Et recalculer les observations qui prennent toutes les valeurs possibles pour x. Vous pouvez faire un tableau. Répétez ceci pour 1000 et comparez la simulation avec la fonction de masse correspondante.
Illustration de la transformation de probabilité
Premiersimuler des fonctions de distribution homogène de variables aléatoires u1, u2,.,,, un sur l'intervalle [0, 1]. Environ 10 % des nombres doivent être compris entre [0, 3, 0, 4]. Cela correspond à 10 % des simulations sur l'intervalle [0, 28, 0, 38] pour une variable aléatoire avec la fonction de distribution FX indiquée. De même, environ 10 % des nombres aléatoires doivent être dans l'intervalle [0, 7, 0, 8]. Cela correspond à 10% de simulations sur l'intervalle [0, 96, 1, 51] de la variable aléatoire avec la fonction de distribution FX. Ces valeurs sur l'axe des x peuvent être obtenues en prenant l'inverse de FX. Si X est une variable aléatoire continue de densité fX positive partout dans son domaine, alors la fonction de distribution est strictement croissante. Dans ce cas, FX a une fonction FX-1 inverse connue sous le nom de fonction quantile. FX (x) u uniquement lorsque x FX-1 (u). La transformation de probabilité découle de l'analyse de la variable aléatoire U=FX (X).
FX a une plage de 0 à 1. Il ne peut pas être inférieur à 0 ou supérieur à 1. Pour les valeurs de u comprises entre 0 et 1. Si U peut être simulé, une variable aléatoire avec une distribution FX doit être simulé via une fonction quantile. Prendre la dérivée pour voir que la densité u varie à l'intérieur de 1. Puisque la variable aléatoire U a une densité constante sur l'intervalle de ses valeurs possibles, elle est dite uniforme sur l'intervalle [0, 1]. Il est modélisé en R avec la commande runif. L'identité est appelée transformation probabiliste. Vous pouvez voir comment cela fonctionne dans l'exemple du jeu de fléchettes. X entre 0 et 1, fonctiondistribution u=FX (x)=x2, et donc la fonction quantile x=FX-1 (u). Il est possible de modéliser des observations indépendantes de la distance du centre du panneau de fléchettes, et ainsi de créer des variables aléatoires uniformes U1, U2,.,, Un. La fonction de distribution et la fonction empirique sont basées sur 100 simulations de la distribution d'un jeu de fléchettes. Pour une variable aléatoire exponentielle, vraisemblablement u=FX (x)=1 - exp (- x), et donc x=- 1 ln (1 - u). Parfois, la logique consiste en des déclarations équivalentes. Dans ce cas, vous devez concaténer les deux parties de l'argument. L'identité d'intersection est similaire pour tous les 2 {S i i} S, au lieu d'une certaine valeur. L'union Ci est égale à l'espace d'état S et chaque paire est mutuellement exclusive. Puisque Bi - se divise en trois axiomes. Chaque contrôle est basé sur la probabilité correspondante P. Pour tout sous-ensemble. Utiliser une identité pour s'assurer que la réponse ne dépend pas de l'inclusion ou non des points de terminaison de l'intervalle.
Fonction exponentielle et ses variables
Pour chaque résultat dans tous les événements, la deuxième propriété de la continuité des probabilités est finalement utilisée, qui est considérée comme axiomatique. La loi de distribution de la fonction d'une variable aléatoire montre ici que chacune a sa propre solution et sa propre réponse.
