L'étude des fonctions et de leurs graphes est un sujet qui fait l'objet d'une attention particulière dans le cadre du cursus du lycée. Certaines bases de l'analyse mathématique - la différenciation - sont incluses dans le niveau profil de l'examen en mathématiques. Certains écoliers ont des problèmes avec ce sujet, car ils confondent les graphiques de la fonction et de la dérivée, et oublient également les algorithmes. Cet article couvrira les principaux types de tâches et comment les résoudre.
Quelle est la valeur de la fonction ?
Une fonction mathématique est une équation spéciale. Il établit une relation entre les nombres. La fonction dépend de la valeur de l'argument.
La valeur de la fonction est calculée selon la formule donnée. Pour ce faire, substituez tout argument correspondant à la plage de valeurs valides dans cette formule à la place de x et effectuez les opérations mathématiques nécessaires. Quoi ?
Comment trouver la plus petite valeur d'une fonction,en utilisant une fonction graphique ?
La représentation graphique de la dépendance d'une fonction à un argument est appelée un graphe de fonctions. Il est construit sur un plan avec un certain segment unitaire, où la valeur d'une variable ou d'un argument est tracée le long de l'axe horizontal des abscisses, et la valeur de la fonction correspondante le long de l'axe vertical des ordonnées.
Plus la valeur de l'argument est grande, plus il se trouve à droite sur le graphique. Et plus la valeur de la fonction elle-même est grande, plus le point est élevé.
Qu'est-ce que cela signifie ? La plus petite valeur de la fonction sera le point le plus bas sur le graphique. Pour le trouver sur un segment de graphique, vous avez besoin de:
1) Trouvez et marquez les extrémités de ce segment.
2) Déterminez visuellement quel point de ce segment est le plus bas.
3) En réponse, notez sa valeur numérique, qui peut être déterminée en projetant un point sur l'axe des y.
Points extrêmes sur le graphique dérivé. Où chercher ?
Cependant, lors de la résolution de problèmes, on donne parfois un graphique non pas d'une fonction, mais de sa dérivée. Afin d'éviter de commettre accidentellement une erreur stupide, il est préférable de lire attentivement les conditions, car cela dépend de l'endroit où vous devez rechercher les points extrêmes.
Donc, la dérivée est le taux instantané d'augmentation de la fonction. Selon la définition géométrique, la dérivée correspond à la pente de la tangente, qui est directement tracée au point donné.
On sait qu'aux points extrêmes la tangente est parallèle à l'axe Ox. Cela signifie que sa pente est de 0.
De cela, nous pouvons conclure qu'aux points extrêmes, la dérivée se trouve sur l'axe des x ou s'annule. Mais en plus, en ces points, la fonction change de sens. C'est-à-dire qu'après une période d'augmentation, il commence à diminuer et la dérivée, en conséquence, passe de positive à négative. Ou vice versa.
Si la dérivée devient négative à partir du positif, c'est le point maximum. Si de négatif il devient positif - le point minimum.
Important: si vous avez besoin de spécifier un point minimum ou maximum dans la tâche, alors en réponse, vous devez écrire la valeur correspondante le long de l'axe des abscisses. Mais si vous avez besoin de trouver la valeur de la fonction, vous devez d'abord substituer la valeur correspondante de l'argument dans la fonction et la calculer.
Comment trouver les points extrêmes en utilisant la dérivée ?
Les exemples considérés se réfèrent principalement à la tâche numéro 7 de l'examen, qui consiste à travailler avec un graphe d'une dérivée ou d'une primitive. Mais la tâche 12 du USE - trouver la plus petite valeur d'une fonction sur un segment (parfois la plus grande) - s'effectue sans aucun dessin et nécessite des compétences de base en analyse mathématique.
Pour l'exécuter, vous devez être capable de trouver des points extrêmes à l'aide de la dérivée. L'algorithme pour les trouver est le suivant:
- Trouver la dérivée d'une fonction.
- Réglez-le sur zéro.
- Trouvez les racines de l'équation.
- Vérifier si les points obtenus sont des points extrêmes ou d'inflexion.
Pour ce faire, dessinez un diagramme et surles intervalles résultants déterminent les signes de la dérivée en substituant les nombres appartenant aux segments dans la dérivée. Si, lors de la résolution de l'équation, vous avez obtenu des racines de double multiplicité, ce sont des points d'inflexion.
En appliquant les théorèmes, déterminez quels points sont minimum et lesquels sont maximum
Calculer la plus petite valeur d'une fonction en utilisant une dérivée
Cependant, après avoir effectué toutes ces actions, nous trouverons les valeurs des points minimum et maximum le long de l'axe des x. Mais comment trouver la plus petite valeur d'une fonction sur un segment ?
Que faut-il faire pour trouver le nombre qui correspond à la fonction en un point particulier ? Vous devez substituer la valeur de l'argument dans cette formule.
Les points de minimum et de maximum correspondent à la plus petite et à la plus grande valeur de la fonction sur le segment. Ainsi, pour trouver la valeur de la fonction, vous devez calculer la fonction en utilisant les valeurs x obtenues.
Important ! Si la tâche vous oblige à spécifier un point minimum ou maximum, vous devez en réponse écrire la valeur correspondante le long de l'axe des x. Mais si vous avez besoin de trouver la valeur de la fonction, vous devez d'abord substituer la valeur correspondante de l'argument dans la fonction et effectuer les opérations mathématiques nécessaires.
Que dois-je faire s'il n'y a pas de bas sur ce segment ?
Mais comment trouver la plus petite valeur d'une fonction sur un segment sans points extrêmes ?
Cela signifie que la fonction diminue ou augmente de manière monotone. Ensuite, vous devez substituer la valeur des points extrêmes de ce segment dans la fonction. Il y a deux façons.
1) Après avoir calculédérivée et les intervalles sur lesquels elle est positive ou négative, pour conclure si la fonction est décroissante ou croissante sur un segment donné.
Conformément à eux, substituez une valeur plus ou moins grande de l'argument dans la fonction.
2) Substituez simplement les deux points dans la fonction et comparez les valeurs de fonction résultantes.
Dans quelles tâches trouver la dérivée est facultatif
En règle générale, dans les affectations USE, vous devez toujours trouver la dérivée. Il n'y a que quelques exceptions.
1) Parabole.
Le sommet de la parabole est trouvé par la formule.
Si a < 0, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. Et son pic est le point maximum.
Si un > 0, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, le sommet est le point minimum.
Après avoir calculé le sommet de la parabole, vous devez substituer sa valeur dans la fonction et calculer la valeur correspondante de la fonction.
2) Fonction y=tg x. Ou y=ctg x.
Ces fonctions augmentent de manière monotone. Par conséquent, plus la valeur de l'argument est grande, plus la valeur de la fonction elle-même est grande. Ensuite, nous verrons comment trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment avec des exemples.
Principaux types de tâches
Task: la plus grande ou la plus petite valeur de la fonction. Exemple sur le graphique.
Dans l'image, vous voyez le graphique de la dérivée de la fonction f (x) sur l'intervalle [-6; 6]. En quel point du segment [-3; 3] f(x) prend la plus petite valeur ?
Donc, pour commencer, vous devez sélectionner le segment spécifié. Sur celui-ci, la fonction prend une fois une valeur nulle et change de signe - c'est le point extrême. Puisque la dérivée du négatif devient positive, cela signifie que c'est le point minimum de la fonction. Ce point correspond à la valeur de l'argument 2.
Réponse: 2.
Continuez à regarder des exemples. Tâche: trouver la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur le segment.
Trouver la plus petite valeur de la fonction y=(x - 8) ex-7 sur l'intervalle [6; 8].
1. Prenez la dérivée d'une fonction complexe.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Égalez la dérivée résultante à zéro et résolvez l'équation.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, ou ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, pas de racines
3. Remplacez la valeur des points extrêmes dans la fonction, ainsi que les racines obtenues de l'équation.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Réponse: -1.
Donc, dans cet article, la théorie principale a été examinée sur la façon de trouver la plus petite valeur d'une fonction sur un segment, ce qui est nécessaire pour résoudre avec succès les tâches USE en mathématiques spécialisées. Aussi des éléments de mathématiquessont utilisées lors de la résolution des tâches de la partie C de l'examen, mais elles représentent évidemment un niveau de complexité différent, et les algorithmes de leurs solutions sont difficiles à intégrer dans le cadre d'un seul matériau.
