La capacité de travailler avec des expressions numériques contenant une racine carrée est nécessaire pour la résolution réussie d'un certain nombre de problèmes de l'OGE et de l'USE. Lors de ces examens, une compréhension de base de ce qu'est l'extraction de racines et de la façon dont elle est effectuée dans la pratique est généralement suffisante.
Définition
La racine n-ième d'un nombre X est un nombre x pour lequel l'égalité est vraie: xn =X.
Trouver la valeur d'une expression avec une racine signifie trouver x étant donné X et n.
La racine carrée ou, ce qui revient au même, la racine seconde de X - le nombre x pour lequel l'égalité est satisfaite: x2 =X.
Désignation: ∛å. Ici 3 est le degré de la racine, X est l'expression de la racine. Le signe '√' est souvent appelé radical.
Si le nombre au-dessus de la racine n'indique pas le degré, la valeur par défaut est le degré 2.
Dans un cours scolaire pour des diplômes pairs, les racines négatives et les expressions radicales ne sont généralement pas prises en compte. Par exemple, il n'y a pas√-2, et pour l'expression √4, la bonne réponse est 2, malgré le fait que (-2)2 vaut aussi 4.
Rationalité et irrationalité des racines
La tâche la plus simple possible avec une racine est de trouver la valeur d'une expression ou de tester sa rationalité.
Par exemple, calculez les valeurs √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 car 52 =25;
- ∛8=2 car 23 =8;
- ∛ - 125=-5 puisque (-5)3 =-125.
Les réponses dans les exemples donnés sont des nombres rationnels.
Lorsque vous travaillez avec des expressions qui ne contiennent pas de constantes et de variables littérales, il est recommandé de toujours effectuer une telle vérification en utilisant l'opération inverse d'élévation à une puissance naturelle. Trouver le nombre x à la nième puissance équivaut à calculer le produit de n facteurs de x.
Il existe de nombreuses expressions avec une racine dont la valeur est irrationnelle, c'est-à-dire écrite sous la forme d'une fraction infinie non périodique.
Par définition, les rationnels sont ceux qui peuvent être exprimés comme une fraction commune, et les irrationnels sont tous les autres nombres réels.
Ceux-ci incluent √24, √0, 1, √101.
Si le livre de problèmes dit: trouvez la valeur de l'expression avec une racine de 2, 3, 5, 6, 7, etc., c'est-à-dire à partir des nombres naturels qui ne sont pas contenus dans le tableau des carrés, alors la bonne réponse est √ 2 peut être présent (sauf indication contraire).
Évaluer
En cas de problèmes avecune réponse ouverte, s'il est impossible de trouver la valeur d'une expression avec une racine et de l'écrire sous forme de nombre rationnel, le résultat doit être laissé sous forme de radical.
Certains devoirs peuvent nécessiter une évaluation. Par exemple, comparez 6 et √37. La solution nécessite de mettre les deux nombres au carré et de comparer les résultats. De deux nombres, celui dont le carré est le plus grand est le plus grand. Cette règle fonctionne pour tous les nombres positifs:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- signifie √37 > 6.
De la même manière, on résout des problèmes dans lesquels plusieurs nombres doivent être rangés par ordre croissant ou décroissant.
Exemple: Disposer 5, √6, √48, √√64 dans l'ordre croissant.
Après la mise au carré, nous avons: 25, 6, 48, √64. On pourrait remettre tous les nombres au carré pour les comparer à √64, mais il est égal au nombre rationnel 8. 6 < 8 < 25 < 48, donc la solution est: 48.
Simplifier l'expression
Il arrive qu'il soit impossible de trouver la valeur d'une expression avec une racine, il faut donc la simplifier. La formule suivante aide à cela:
√ab=√a√b.
La racine du produit de deux nombres est égale au produit de leurs racines. Cette opération nécessitera également la possibilité de factoriser un nombre.
Au stade initial, pour accélérer le travail, il est recommandé d'avoir à portée de main un tableau de nombres premiers et de carrés. Ces tableaux avec fréquentl'utilisation à l'avenir sera mémorisée.
Par exemple, √242 est un nombre irrationnel, vous pouvez le convertir comme ceci:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Habituellement, le résultat s'écrit 11√2 (lire: onze racines sur deux).
S'il est difficile de voir immédiatement en quels deux facteurs un nombre doit être décomposé pour qu'une racine naturelle puisse être extraite de l'un d'eux, vous pouvez utiliser la décomposition complète en facteurs premiers. Si le même nombre premier apparaît deux fois dans le développement, il est retiré du signe racine. Lorsqu'il existe de nombreux facteurs, vous pouvez extraire la racine en plusieurs étapes.
Exemple: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Le nombre 2 apparaît 2 fois dans le développement (en fait, plus de deux fois, mais nous sommes toujours intéressés par les deux premières occurrences du développement).
On le sort de sous le signe racine:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Répéter la même action:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
Dans l'expression radicale restante, 2 et 3 apparaissent une fois, il reste donc à retirer le facteur 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
et effectuer des opérations arithmétiques:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Donc, on obtient √2400=20√6.
Si la tâche n'indique pas explicitement: "trouver la valeur de l'expression avec une racine carrée", alors le choix,sous quelle forme laisser la réponse (si extraire la racine sous le radical) reste avec l'étudiant et peut dépendre du problème à résoudre.
Dans un premier temps, des exigences élevées sont placées sur la conception des tâches, le calcul, y compris oral ou écrit, sans recours à des moyens techniques.
Ce n'est qu'après une bonne maîtrise des règles de travail avec des expressions numériques irrationnelles qu'il est logique de passer à des expressions littérales plus difficiles et à la résolution d'équations irrationnelles et au calcul de la plage de valeurs possibles de l'expression sous la radical.
Les étudiants rencontrent ce type de problème à l'examen d'État unifié en mathématiques, ainsi qu'en première année d'universités spécialisées lorsqu'ils étudient l'analyse mathématique et les disciplines connexes.
