Le monde est arrangé de telle manière que la solution d'un grand nombre de problèmes revient à trouver les racines d'une équation quadratique. Les racines des équations sont importantes pour décrire divers modèles. Cela était connu même des arpenteurs de l'ancienne Babylone. Les astronomes et les ingénieurs ont également été contraints de résoudre de tels problèmes. Au 6ème siècle après JC, le scientifique indien Aryabhata a développé les bases pour trouver les racines d'une équation quadratique. Les formules ont été complétées au 19ème siècle.
Concepts généraux
Nous vous invitons à vous familiariser avec les régularités de base des égalités quadratiques. En général, l'égalité peut s'écrire comme suit:
ax2 + bx + c=0, Le nombre de racines d'une équation quadratique peut être égal à un ou deux. Une analyse rapide peut être faite en utilisant le concept de discriminant:
D=b2 - 4ac
Selon la valeur calculée, on obtient:
- Quand D > 0 il y a deux racines différentes. La formule générale pour déterminer les racines d'une équation quadratique ressemble à (-b± √D) / (2a).
- D=0, dans ce cas la racine est un et correspond à la valeur x=-b / (2a)
- D < 0, pour une valeur négative du discriminant, il n'y a pas de solution à l'équation.
Remarque: si le discriminant est négatif, l'équation n'a de racines que dans la région des nombres réels. Si l'algèbre est étendue au concept de racines complexes, alors l'équation a une solution.
Donnons une chaîne d'actions qui confirme la formule pour trouver des racines.
D'après la forme générale de l'équation, il s'ensuit:
ax2 + bx=-c
On multiplie les parties droite et gauche par 4a et on ajoute b2, on obtient
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Transformer le côté gauche en carré du polynôme (2ax + b)2. Nous extrayons la racine carrée des deux côtés de l'équation 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), transférons le coefficient b du côté droit, nous obtenons:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
D'ici suit:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Ce qu'il fallait montrer.
Cas particulier
Dans certains cas, la solution du problème peut être simplifiée. Ainsi, pour un coefficient b pair, nous obtenons une formule plus simple.
Notons k=1/2b, alors la formule de la forme générale des racines de l'équation quadratique prend la forme:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Quand D=0, on obtient x=-k / a
Un autre cas particulier est la solution de l'équation avec a=1.
Pour la forme x2 + bx + c=0 les racines seront x=-k ± √(k2 - c) avec un discriminant supérieur à 0. Pour le cas où D=0, la racine sera déterminée par une formule simple: x=-k.
Utiliser des graphiques
Toute personne, sans même le savoir, est constamment confrontée à des phénomènes physiques, chimiques, biologiques et même sociaux bien décrits par une fonction quadratique.
Remarque: la courbe construite à partir d'une fonction quadratique s'appelle une parabole.
Voici quelques exemples.
- Lors du calcul de la trajectoire d'un projectile, la propriété de mouvement le long d'une parabole d'un corps tiré à un angle par rapport à l'horizon est utilisée.
- La propriété d'une parabole à répartir uniformément la charge est largement utilisée en architecture.
Comprenant l'importance de la fonction parabolique, découvrons comment utiliser le graphe pour explorer ses propriétés, en utilisant les concepts de "discriminant" et de "racines d'une équation quadratique".
Selon la valeur des coefficients a et b, il n'y a que six options pour la position de la courbe:
- Le discriminant est positif, a et b ont des signes différents. Les branches de la parabole se lèvent, l'équation quadratique a deux solutions.
- Discriminant et le coefficient b sont égaux à zéro, le coefficient a est supérieur à zéro. Le graphique est dans la zone positive, l'équation a 1 racine.
- Le discriminant et tous les coefficients sont positifs. L'équation quadratique n'a pas de solution.
- Discriminant et coefficient a sont négatifs, b est supérieur à zéro. Les branches du graphique sont dirigées vers le bas, l'équation a deux racines.
- Discriminant etcoefficient b sont égaux à zéro, le coefficient a est négatif. La parabole regarde vers le bas, l'équation a une racine.
- Les valeurs du discriminant et de tous les coefficients sont négatives. Il n'y a pas de solutions, les valeurs de la fonction sont complètement dans la zone négative.
Remarque: l'option a=0 n'est pas considérée, car dans ce cas la parabole dégénère en une ligne droite.
Tout ce qui précède est bien illustré par la figure ci-dessous.
Exemples de résolution de problèmes
Condition: en utilisant les propriétés générales, faites une équation quadratique dont les racines sont égales entre elles.
Solution:
selon l'état du problème x1 =x2, ou -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Simplification de la notation:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, ouvrez les parenthèses et donnez des termes semblables. L'équation devient 2√(b2 - 4ac)=0. Cette affirmation est vraie lorsque b2 - 4ac=0, donc b 2=4ac, alors la valeur b=2√(ac) est substituée dans l'équation
ax2 + 2√(ac)x + c=0, sous la forme réduite on obtient x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Réponse:
pour a non égal à 0 et tout c, il n'y a qu'une seule solution si b=2√(c / a).
Les équations quadriques, malgré toute leur simplicité, sont d'une grande importance dans les calculs d'ingénierie. Presque tous les processus physiques peuvent être décrits avec une certaine approximation en utilisantfonctions puissances d'ordre n. L'équation quadratique sera la première approximation de ce type.
