Les équations quadriques apparaissent souvent dans un certain nombre de problèmes de mathématiques et de physique. Chaque élève devrait donc être capable de les résoudre. Cet article détaille les principales méthodes de résolution d'équations quadratiques et fournit également des exemples de leur utilisation.
Quelle équation est appelée quadratique
Tout d'abord, nous allons répondre à la question de ce paragraphe afin de mieux comprendre de quoi va parler l'article. Ainsi, l'équation quadratique a la forme générale suivante: c + bx+ax2=0, où a, b, c sont des nombres appelés coefficients. Ici a≠0 est une condition obligatoire, sinon l'équation indiquée dégénère en une équation linéaire. Les coefficients restants (b, c) peuvent prendre absolument n'importe quelle valeur, y compris zéro. Ainsi, des expressions comme ax2=0, où b=0 et c=0, ou c+ax2=0, où b=0, ou bx+ax2=0, où c=0 sont aussi des équations quadratiques, qui sont dites incomplètes, puisque soit le coefficient linéaire b en elles est nul ou nulest un terme libre c, ou ils disparaissent tous les deux.
Une équation dans laquelle a=1 est dite réduite, c'est-à-dire qu'elle a la forme: x2 + с/a + (b/a)x=0.
La solution d'une équation quadratique consiste à trouver de telles valeurs x qui satisfont son égalité. Ces valeurs sont appelées racines. Puisque l'équation considérée est une expression du second degré, cela signifie que le nombre maximum de ses racines ne peut pas dépasser deux.
Quelles sont les méthodes de résolution d'équations carrées
En général, il existe 4 méthodes de résolution. Leurs noms sont listés ci-dessous:
- Facturation.
- Ajout au carré.
- Utiliser une formule connue (via le discriminant).
- La méthode de résolution est géométrique.
Comme vous pouvez le voir dans la liste ci-dessus, les trois premières méthodes sont algébriques, elles sont donc utilisées plus souvent que la dernière, qui consiste à tracer une fonction.
Il existe une autre façon de résoudre des équations carrées en utilisant le théorème de Vieta. Il pourrait être inclus 5ème dans la liste ci-dessus, cependant, cela n'est pas fait, puisque le théorème de Vieta est une simple conséquence de la 3ème méthode.
Plus tard dans l'article, nous examinerons plus en détail les méthodes de résolution nommées, et donnerons également des exemples de leur utilisation pour trouver les racines d'équations spécifiques.
Méthode 1. Affacturage
Pour cette méthode en mathématiques des équations quadratiques, il y a une bellenom: factorisation. L'essence de cette méthode est la suivante: il est nécessaire de présenter l'équation quadratique comme un produit de deux termes (expressions), qui doivent être égaux à zéro. Après une telle représentation, vous pouvez utiliser la propriété product, qui ne sera égale à zéro que lorsqu'un ou plusieurs (tous) de ses membres sont nuls.
Considérons maintenant la séquence d'actions spécifiques qui doivent être effectuées pour trouver les racines de l'équation:
- Déplacez tous les membres vers une partie de l'expression (par exemple, vers la gauche) de sorte qu'il ne reste que 0 dans son autre partie (droite).
- Représente la somme des termes d'une partie de l'équation sous la forme d'un produit de deux équations linéaires.
- Mettez chacune des expressions linéaires à zéro et résolvez-les.
Comme vous pouvez le voir, l'algorithme de factorisation est assez simple, cependant, la plupart des étudiants ont des difficultés lors de la mise en œuvre du 2e point, nous allons donc l'expliquer plus en détail.
Pour deviner quelles 2 expressions linéaires, multipliées l'une par l'autre, donneront l'équation quadratique désirée, vous devez vous souvenir de deux règles simples:
- Les coefficients linéaires de deux expressions linéaires, lorsqu'ils sont multipliés l'un par l'autre, doivent donner le premier coefficient de l'équation quadratique, c'est-à-dire le nombre a.
- Les termes libres des expressions linéaires, une fois multipliés, doivent donner le nombre c de l'équation désirée.
Une fois que tous les nombres de facteurs sont sélectionnés, ils doivent être multipliés, et s'ils donnent l'équation souhaitée, passez à l'étape 3 del'algorithme ci-dessus, sinon vous devriez changer les multiplicateurs, mais vous devez le faire pour que les règles ci-dessus soient toujours suivies.
Exemple de solution par méthode de factorisation
Montrons clairement comment l'algorithme de résolution d'une équation quadratique consiste à composer et à trouver des racines inconnues. Soit une expression arbitraire donnée, par exemple, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Passons à sa solution, en observant la séquence des points de 1 à 3, qui sont énoncés dans le paragraphe précédent de l'article.
Item 1. Déplacez tous les termes vers la gauche et disposez-les dans la séquence classique d'une équation quadratique. On a l'égalité suivante: 2x+(-8)+x2=0.
Item 2. Nous le décomposons en un produit d'équations linéaires. Puisque a=1, et c=-8, alors on sélectionnera, par exemple, un tel produit (x-2)(x+4). Il satisfait aux règles de recherche des facteurs attendus énoncées dans le paragraphe ci-dessus. Si nous ouvrons les parenthèses, nous obtenons: -8+2x+x2, c'est-à-dire que nous obtenons exactement la même expression que sur le côté gauche de l'équation. Cela signifie que nous avons correctement deviné les multiplicateurs et que nous pouvons passer à la 3ème étape de l'algorithme.
Item 3. Égalez chaque facteur à zéro, nous obtenons: x=-4 et x=2.
En cas de doute sur le résultat, il est recommandé de vérifier en substituant les racines trouvées dans l'équation d'origine. Dans ce cas, on a: 22+22-8=0 et 2(-4)+(-4)2 -8=0. Racines trouvées correctement.
Ainsi, en utilisant la méthode de factorisation, nous avons trouvé que l'équation donnée a deux racines de différentsa: 2 et -4.
Méthode 2. Complément au carré complet
Dans l'algèbre des équations carrées, la méthode du multiplicateur ne peut pas toujours être utilisée, car dans le cas de valeurs fractionnaires des coefficients de l'équation quadratique, des difficultés surviennent dans la mise en œuvre du paragraphe 2 de l'algorithme.
La méthode des carrés complets, à son tour, est universelle et peut être appliquée à des équations quadratiques de tout type. Son essence est d'effectuer les opérations suivantes:
- Les termes de l'équation contenant les coefficients a et b doivent être transférés dans une partie de l'équation, et le terme libre c dans l'autre.
- Ensuite, les parties de l'égalité (droite et gauche) doivent être divisées par le coefficient a, c'est-à-dire présenter l'équation sous sa forme réduite (a=1).
- Sommez les termes avec les coefficients a et b pour les représenter sous la forme d'un carré d'une équation linéaire. Puisque a \u003d 1, alors le coefficient linéaire sera égal à 1, comme pour le terme libre de l'équation linéaire, alors il devrait être égal à la moitié du coefficient linéaire de l'équation quadratique réduite. Après avoir tracé le carré de l'expression linéaire, il faut ajouter le nombre correspondant au côté droit de l'égalité, où se trouve le terme libre, qui est obtenu en développant le carré.
- Prenez la racine carrée avec les signes "+" et "-" et résolvez l'équation linéaire déjà obtenue.
L'algorithme décrit peut à première vue être perçu comme plutôt compliqué, cependant, en pratique, il est plus facile à mettre en œuvre que la méthode de factorisation.
Un exemple de solution utilisant le complément carré complet
Donnons un exemple d'équation quadratique pour entraîner sa solution par la méthode décrite dans le paragraphe précédent. Donnons l'équation quadratique -10 - 6x+5x2=0. Nous commençons à la résoudre en suivant l'algorithme décrit ci-dessus.
Item 1. Nous utilisons la méthode de transfert lors de la résolution d'équations carrées, nous obtenons: - 6x+5x2=10.
Point 2. La forme réduite de cette équation est obtenue en divisant par le nombre 5 de chacun de ses membres (si les deux parties sont divisées ou multipliées par le même nombre, alors l'égalité sera préservée). À la suite des transformations, nous obtenons: x2 - 6/5x=2.
Item 3. La moitié du coefficient - 6/5 est -6/10=-3/5, utilisez ce nombre pour compléter le carré, nous obtenons: (-3/5+x) 2 . Nous l'étendons et le terme libre résultant doit être soustrait du côté gauche de l'égalité afin de satisfaire la forme originale de l'équation quadratique, ce qui équivaut à l'ajouter au côté droit. En conséquence, nous obtenons: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Calculez la racine carrée avec des signes positifs et négatifs et trouvez les racines: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Les deux racines trouvées ont les valeurs suivantes: x1=(√59+3)/5 et x1=(3-√59)/5.
Étant donné que les calculs effectués sont liés aux racines, il y a une forte probabilité de se tromper. Par conséquent, il est recommandé de vérifier l'exactitude des racines x2 et x1. On obtient pour x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Remplacer maintenantx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Ainsi, nous avons montré que les racines trouvées de l'équation sont vraies.
Méthode 3. Application de la formule bien connue
Cette méthode de résolution d'équations quadratiques est peut-être la plus simple, puisqu'elle consiste à substituer les coefficients dans une formule connue. Pour l'utiliser, vous n'avez pas besoin de penser à compiler des algorithmes de solution, il suffit de retenir une seule formule. Il est montré dans l'image ci-dessus.
Dans cette formule, l'expression radicale (b2-4ac) est appelée le discriminant (D). De sa valeur dépend de quelles racines sont obtenues. Il y a 3 cas:
- D>0, alors l'équation racine deux a des équations réelles et différentes.
- D=0, alors on obtient la racine, qui peut être calculée à partir de l'expression x=-b/(a2).
- D<0, alors vous obtenez deux racines imaginaires différentes, qui sont représentées par des nombres complexes. Par exemple, le nombre 3-5i est complexe, tandis que l'unité imaginaire i satisfait la propriété: i2=-1.
Un exemple de solution en calculant le discriminant
Donnons un exemple d'équation quadratique pour s'entraîner à utiliser la formule ci-dessus. Trouvez les racines pour -3x2-6+3x+4x=0. Tout d'abord, calculez la valeur du discriminant, nous obtenons: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Puisque D<0 est obtenu, cela signifie que les racines de l'équation considérée sont des nombres complexes. Trouvons-les en substituant la valeur trouvée D dans la formule donnée dans le paragraphe précédent (elle est également indiquée sur la photo ci-dessus). On obtient: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Méthode 4. Utilisation du graphique de fonction
On l'appelle aussi la méthode graphique pour résoudre des équations carrées. Il faut dire qu'en règle générale, il n'est pas utilisé pour l'analyse quantitative, mais qualitative de l'équation considérée.
L'essence de la méthode est de tracer une fonction quadratique y=f(x), qui est une parabole. Ensuite, il faut déterminer en quels points la parabole coupe l'axe des abscisses (X), ce seront les racines de l'équation correspondante.
Pour savoir si une parabole coupera l'axe X, il suffit de connaître la position de son minimum (maximum) et la direction de ses branches (elles peuvent soit augmenter soit diminuer). Il y a deux propriétés de cette courbe à retenir:
- Si a>0 - les paraboles de la branche sont dirigées vers le haut, au contraire, si a<0, alors elles descendent.
- La coordonnée minimale (maximale) d'une parabole est toujours x=-b/(2a).
Par exemple, vous devez déterminer si l'équation -4x+5x2+10=0. La parabole correspondante sera dirigée vers le haut, puisqu'une=5>0. Son extremum a pour coordonnées: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Puisque le minimum de la courbe se trouve au-dessus de l'axe des abscisses (y=9, 2), alors il ne coupe pas ce dernier pour toutx valeurs. Autrement dit, l'équation donnée n'a pas de racines réelles.
Théorème de Vieta
Comme indiqué ci-dessus, ce théorème est une conséquence de la méthode n° 3, qui est basée sur l'application d'une formule avec un discriminant. L'essence du théorème de Vieta est qu'il vous permet de relier les coefficients de l'équation et ses racines en égalité. Obtenons les égalités correspondantes.
Utilisons la formule pour calculer les racines à travers le discriminant. Ajouter deux racines, on obtient: x1+x2=-b/a. Multiplions maintenant les racines entre elles: x1x2, après une série de simplifications on obtient le nombre c/a.
Ainsi, pour résoudre les équations quadratiques par le théorème de Vieta, vous pouvez utiliser les deux égalités obtenues. Si les trois coefficients d'une équation sont connus, alors les racines peuvent être trouvées en résolvant le système approprié de ces deux équations.
Un exemple d'utilisation du théorème de Vieta
Vous devez écrire une équation quadratique si vous savez qu'elle a la forme x2+c=-bx et que ses racines sont 3 et -4.
Puisque a=1 dans l'équation considérée, les formules de Vieta ressembleront à: x2+x1=-b et x2x1=p. En substituant les valeurs connues des racines, on obtient: b=1 et c=-12. En conséquence, l'équation quadratique réduite restaurée ressemblera à: x2-12=-1x. Vous pouvez y substituer la valeur des racines et vous assurer que l'égalité est maintenue.
Application inverse du théorème de Vieta, c'est-à-dire le calcul des racines parforme connue de l'équation, permet aux petits entiers a, b et c de trouver rapidement (intuitivement) des solutions.
