Certains problèmes mathématiques nécessitent la capacité de calculer la racine carrée. Ces problèmes comprennent la résolution d'équations du second ordre. Dans cet article, nous présentons une méthode efficace pour calculer les racines carrées et l'utilisons lorsque vous travaillez avec des formules pour les racines d'une équation quadratique.
Qu'est-ce qu'une racine carrée ?
En mathématiques, ce concept correspond au symbole √. Les données historiques indiquent qu'il a commencé à être utilisé pour la première fois vers la première moitié du XVIe siècle en Allemagne (le premier ouvrage allemand sur l'algèbre de Christoph Rudolf). Les scientifiques pensent que ce symbole est une lettre latine r transformée (radix signifie "racine" en latin).
La racine de tout nombre est égale à une telle valeur, dont le carré correspond à l'expression racine. En langage mathématique, cette définition ressemblera à ceci: √x=y si y2=x.
La racine d'un nombre positif (x > 0) est aussiun nombre positif (y > 0), mais si la racine est tirée d'un nombre négatif (x < 0), alors son résultat sera déjà un nombre complexe, y compris l'unité imaginaire i.
Voici deux exemples simples:
√9=3 car 32 =9; √(-9)=3i car i2=-1.
Formule itérative de Heron pour trouver des racines carrées
Les exemples ci-dessus sont très simples et il n'est pas difficile d'en calculer les racines. Des difficultés commencent déjà à apparaître lors de la recherche des valeurs racines pour toute valeur qui ne peut pas être représentée comme un carré d'un nombre naturel, par exemple √10, √11, √12, √13, sans parler du fait qu'en pratique il est nécessaire pour trouver les racines des nombres non entiers: par exemple √(12, 15), √(8, 5) et ainsi de suite.
Dans tous les cas ci-dessus, une méthode spéciale de calcul de la racine carrée doit être utilisée. Actuellement, plusieurs méthodes de ce type sont connues: par exemple, l'expansion dans une série de Taylor, la division par une colonne et quelques autres. De toutes les méthodes connues, la plus simple et la plus efficace est peut-être l'utilisation de la formule itérative de Heron, également connue sous le nom de méthode babylonienne pour déterminer les racines carrées (il est prouvé que les anciens Babyloniens l'utilisaient dans leurs calculs pratiques).
Qu'il soit nécessaire de déterminer la valeur de √x. La formule pour trouver la racine carrée est la suivante:
an+1=1/2(a+x/a), où limn->∞(a)=> x.
Déchiffrez cette notation mathématique. Pour calculer √x, vous devez prendre un nombre a0 (cela peut être arbitraire, mais pour un résultat rapide, vous devez le choisir tel que (a0) 2 était aussi proche que possible de x, puis remplacez-le dans la formule de racine carrée spécifiée et obtenez un nouveau nombre a1, qui sera déjà être plus proche de la valeur souhaitée, il est nécessaire de remplacer a1 dans l'expression et d'obtenir un2 Cette procédure doit être répétée jusqu'à ce que la précision requise soit obtenue.
Un exemple d'application de la formule itérative de Heron
L'algorithme décrit ci-dessus pour obtenir la racine carrée d'un nombre donné peut sembler assez compliqué et déroutant pour beaucoup, mais en réalité tout s'avère beaucoup plus simple, car cette formule converge très rapidement (surtout si un nombre porte-bonheur est choisi un0).
Prenons un exemple simple: nous devons calculer √11. On choisit a0=3, puisque 32=9, ce qui est plus proche de 11 que 42=16. En substituant dans la formule, on obtient:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Il est inutile de continuer les calculs, puisque nous avons obtenu que a2 et a3 ne commencent à différer que par la 5ème décimale lieu. Ainsi, il suffisait d'appliquer seulement 2 fois la formule pourcalculer √11 à 0,0001 près.
Actuellement, les calculatrices et les ordinateurs sont largement utilisés pour calculer les racines, cependant, il est utile de se souvenir de la formule marquée afin de pouvoir calculer manuellement leur valeur exacte.
Équations du second ordre
Comprendre ce qu'est une racine carrée et la capacité de la calculer est utilisé lors de la résolution d'équations quadratiques. Ces équations sont des égalités à une inconnue dont la forme générale est représentée sur la figure ci-dessous.
Ici c, b et a sont des nombres, et a ne doit pas être égal à zéro, et les valeurs de c et b peuvent être complètement arbitraires, y compris zéro.
Toutes les valeurs de x qui satisfont l'égalité indiquée sur la figure sont appelées ses racines (ce concept ne doit pas être confondu avec la racine carrée √). Puisque l'équation considérée est du 2ème ordre (x2), alors il ne peut y avoir plus de deux nombres pour ses racines. Voyons comment trouver ces racines plus tard dans l'article.
Trouver les racines d'une équation quadratique (formule)
Cette méthode de résolution du type d'égalité considéré est aussi appelée universelle, ou la méthode par le discriminant. Il peut être appliqué à toutes les équations quadratiques. La formule du discriminant et des racines de l'équation quadratique est la suivante:
Cela montre que les racines dépendent de la valeur de chacun des trois coefficients de l'équation. De plus, le calculx1 diffère du calcul x2 uniquement par le signe avant la racine carrée. L'expression radicale, qui est égale à b2 - 4ac, n'est rien d'autre que le discriminant de l'égalité considérée. Le discriminant dans la formule des racines d'une équation quadratique joue un rôle important car il détermine le nombre et le type de solutions. Donc, si elle est nulle, alors il n'y aura qu'une seule solution, si elle est positive, alors l'équation a deux racines réelles, enfin, le discriminant négatif conduit à deux racines complexes x1 et x 2.
Le théorème de Vieta ou certaines propriétés des racines des équations du second ordre
À la fin du XVIe siècle, l'un des fondateurs de l'algèbre moderne, le Français François Viet, étudiant les équations du second ordre, a pu obtenir les propriétés de ses racines. Mathématiquement, ils peuvent être écrits comme ceci:
x1 + x2=-b / a et x1 x 2=c / a.
Les deux égalités peuvent facilement être obtenues par n'importe qui, pour cela il suffit d'effectuer les opérations mathématiques appropriées avec les racines obtenues par la formule avec le discriminant.
La combinaison de ces deux expressions peut à juste titre être appelée la deuxième formule des racines d'une équation quadratique, qui permet de deviner ses solutions sans utiliser le discriminant. Il convient de noter ici que bien que les deux expressions soient toujours valides, il est pratique de les utiliser pour résoudre une équation uniquement si elle peut être factorisée.
La tâche de consolider les connaissances acquises
Résolvons un problème mathématique dans lequel nous démontrerons toutes les techniques abordées dans l'article. Les conditions du problème sont les suivantes: vous devez trouver deux nombres dont le produit est -13 et dont la somme est 4.
Cette condition rappelle immédiatement le théorème de Vieta, en appliquant les formules de la somme des racines carrées et de leur produit, on écrit:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
En supposant que a=1, alors b=-4 et c=-13. Ces coefficients nous permettent d'écrire une équation du second ordre:
x2 - 4x - 13=0.
Utilisez la formule avec le discriminant, on obtient les racines suivantes:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
C'est-à-dire que la tâche a été réduite à trouver le nombre √68. Notez que 68=417, puis en utilisant la propriété racine carrée, nous obtenons: √68=2√17.
Utilisons maintenant la formule racine carrée considérée: a0=4, puis:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Il n'est pas nécessaire de calculer a3 car les valeurs trouvées ne diffèrent que de 0,02. Ainsi, √68=8,246. En le remplaçant dans la formule pour x 1, 2, on obtient:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 et x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Comme vous pouvez le voir, la somme des nombres trouvés est bien 4, mais si vous trouvez leur produit, il sera égal à -12,999, qui satisfait la condition du problème avec une précision de 0,001.
