Nous avons tous étudié les racines carrées arithmétiques en cours d'algèbre à l'école. Il arrive que si la connaissance n'est pas rafraîchie, alors elle est vite oubliée, idem pour les racines. Cet article sera utile aux élèves de huitième année qui souhaitent rafraîchir leurs connaissances dans ce domaine, et aux autres écoliers, car nous travaillons avec des racines en 9e, 10e et 11e année.
Histoire de la racine et du degré
Même dans les temps anciens, et plus particulièrement dans l'Égypte ancienne, les gens avaient besoin de diplômes pour effectuer des opérations sur les nombres. Lorsqu'un tel concept n'existait pas, les Égyptiens notaient vingt fois le produit du même nombre. Mais bientôt une solution au problème a été inventée - le nombre de fois que le nombre doit être multiplié par lui-même a commencé à être écrit dans le coin supérieur droit au-dessus, et cette forme d'enregistrement a survécu jusqu'à ce jour.
Et l'histoire de la racine carrée a commencé il y a environ 500 ans. Il a été désigné de différentes manières, et ce n'est qu'au XVIIe siècle que René Descartes a introduit un tel signe, que nous utilisons encore aujourd'hui.
Qu'est-ce qu'une racine carrée
Commençons par expliquer ce qu'est une racine carrée. La racine carrée d'un certain nombre c est un nombre non négatif qui, une fois élevé au carré, sera égal à c. Dans ce cas, c est supérieur ou égal à zéro.
Pour amener un nombre sous la racine, on le met au carré et on met le signe racine dessus:
32=9, 3=√9
De plus, nous ne pouvons pas obtenir la valeur de la racine carrée d'un nombre négatif, car tout nombre dans un carré est positif, c'est-à-dire:
c2 ≧ 0, si √c est un nombre négatif, alors c2 < 0 - contrairement à la règle.
Pour calculer rapidement les racines carrées, vous devez connaître le tableau des carrés des nombres.
Propriétés
Considérons les propriétés algébriques de la racine carrée.
1) Pour extraire la racine carrée du produit, vous devez prendre la racine de chaque facteur. Autrement dit, il peut être écrit comme le produit des racines des facteurs:
√ac=√a × √c, par exemple:
√36=√4 × √9
2) Lors de l'extraction d'une racine d'une fraction, il est nécessaire d'extraire la racine séparément du numérateur et du dénominateur, c'est-à-dire de l'écrire sous la forme d'un quotient de leurs racines.
3) La valeur obtenue en prenant la racine carrée d'un nombre est toujours égale au module de ce nombre, puisque le module ne peut être que positif:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) Pour élever une racine à n'importe quelle puissance, nous y élevonsexpression radicale:
(√с)4=√с4, par exemple:
(√2)6 =√26=√64=8
5) Le carré de la racine arithmétique de c est égal à ce nombre lui-même:
(√s)2=s.
Racines des nombres irrationnels
Disons que la racine de seize est facile, mais comment prendre la racine de nombres comme 7, 10, 11 ?
Un nombre dont la racine est une fraction infinie non périodique est dit irrationnel. Nous ne pouvons pas en extraire la racine par nous-mêmes. Nous ne pouvons que le comparer avec d'autres chiffres. Par exemple, prenez la racine de 5 et comparez-la avec √4 et √9. Il est clair que √4 < √5 < √9, puis 2 < √5 < 3. Cela signifie que la valeur de la racine de cinq se situe quelque part entre deux et trois, mais il y a beaucoup de fractions décimales entre elles, et choisir chacun est un moyen douteux de trouver la racine.
Vous pouvez effectuer cette opération sur une calculatrice - c'est le moyen le plus simple et le plus rapide, mais en 8e année, vous ne serez jamais obligé d'extraire des nombres irrationnels de la racine carrée arithmétique. Vous n'avez qu'à retenir les valeurs approximatives de la racine de deux et de la racine de trois:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Exemples
Maintenant, sur la base des propriétés de la racine carrée, nous allons résoudre plusieurs exemples:
1) √172 - 82
Rappelez-vous la formule de la différence des carrés:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Nous connaissons la propriété de la racine arithmétique carrée - pour extraire la racine du produit, vous devez l'extraire de chaque facteur:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Appliquer une autre propriété de la racine - le carré de la racine arithmétique d'un nombre est égal à ce nombre lui-même:
2 × 3 + 6=12
Important ! Souvent, lorsqu'ils commencent à travailler et à résoudre des exemples avec des racines carrées arithmétiques, les élèves font l'erreur suivante:
√12 + 3=√12 + √3 - vous ne pouvez pas faire ça !
Nous ne pouvons pas prendre la racine de chaque terme. Une telle règle n'existe pas, mais elle est confondue avec le fait de prendre la racine de chaque facteur. Si nous avions cette entrée:
√12 × 3, alors il serait juste d'écrire √12 × 3=√12 × √3.
Et donc on ne peut qu'écrire:
√12 + 3=√15
