Qu'est-ce que l'arithmétique ? Quand l'humanité a-t-elle commencé à utiliser des nombres et à travailler avec eux ? Où vont les racines de concepts quotidiens tels que les nombres, les fractions, la soustraction, l'addition et la multiplication, dont une personne a fait une partie inséparable de sa vie et de sa vision du monde ? Les anciens esprits grecs admiraient les sciences comme les mathématiques, l'arithmétique et la géométrie comme les plus belles symphonies de la logique humaine.
Peut-être que l'arithmétique n'est pas aussi profonde que les autres sciences, mais que leur arriverait-il si une personne oubliait la table de multiplication élémentaire ? La pensée logique qui nous est habituelle, utilisant des nombres, des fractions et d'autres outils, n'était pas facile pour les gens et a longtemps été inaccessible à nos ancêtres. En fait, avant le développement de l'arithmétique, aucun domaine de la connaissance humaine n'était véritablement scientifique.
L'arithmétique est l'ABC des mathématiques
L'arithmétique est la science des nombres, avec laquelle toute personne commence à se familiariser avec le monde fascinant des mathématiques. Comme l'a dit M. V. Lomonosov, l'arithmétique est la porte de l'apprentissage, nous ouvrant la voie à la connaissance du monde. Mais il a raisonEst-ce que la connaissance du monde peut être séparée de la connaissance des chiffres et des lettres, des mathématiques et de la parole ? Peut-être autrefois, mais pas dans le monde moderne, où le développement rapide de la science et de la technologie dicte ses propres lois.
Le mot "arithmétique" (grec "arithmos") d'origine grecque, signifie "nombre". Elle étudie les nombres et tout ce qui peut s'y rapporter. C'est le monde des nombres: opérations diverses sur les nombres, règles numériques, résolution de problèmes liés à la multiplication, à la soustraction, etc.
Il est généralement admis que l'arithmétique est la première étape des mathématiques et une base solide pour ses sections plus complexes, telles que l'algèbre, l'analyse mathématique, les mathématiques supérieures, etc.
Objet principal de l'arithmétique
La base de l'arithmétique est un nombre entier, dont les propriétés et les modèles sont pris en compte dans l'arithmétique supérieure ou la théorie des nombres. En fait, la force de l'ensemble du bâtiment - les mathématiques - dépend de la justesse de l'approche adoptée pour considérer un si petit bloc comme un nombre naturel.
Par conséquent, la question de savoir ce qu'est l'arithmétique peut être répondue simplement: c'est la science des nombres. Oui, environ les sept, neuf habituels et toute cette communauté diversifiée. Et de même qu'on ne peut pas écrire de la poésie bonne ou même la plus médiocre sans un alphabet élémentaire, on ne peut résoudre même un problème élémentaire sans arithmétique. C'est pourquoi toutes les sciences n'ont avancé qu'après le développement de l'arithmétique et des mathématiques, avant que cela ne soit qu'un ensemble d'hypothèses.
L'arithmétique est une science fantôme
Qu'est-ce que l'arithmétique - science naturelle ou fantôme ? En fait, comme le disaient les anciens philosophes grecs, ni les nombres ni les chiffres n'existent dans la réalité. Ce n'est qu'un fantôme créé dans la pensée humaine lorsqu'on considère l'environnement avec ses processus. En effet, qu'est-ce qu'un nombre ? Nulle part autour de nous, nous ne voyons quelque chose comme ça qui pourrait être appelé un nombre, plutôt, un nombre est une façon pour l'esprit humain d'étudier le monde. Ou peut-être est-ce l'étude de nous-mêmes de l'intérieur ? Les philosophes se sont disputés à ce sujet pendant de nombreux siècles d'affilée, nous ne nous engageons donc pas à donner une réponse exhaustive. D'une manière ou d'une autre, l'arithmétique a réussi à prendre sa place si fermement que dans le monde moderne, personne ne peut être considéré comme socialement adapté sans en connaître les bases.
Comment est apparu l'entier naturel
Bien sûr, l'objet principal sur lequel l'arithmétique opère est un nombre naturel, tel que 1, 2, 3, 4, …, 152… etc. L'arithmétique des nombres naturels est le résultat du comptage d'objets ordinaires, comme des vaches dans un pré. Pourtant, la définition de « beaucoup » ou « peu » a cessé de convenir aux gens, et ils ont dû inventer des techniques de comptage plus avancées.
Mais la véritable percée s'est produite lorsque la pensée humaine a atteint le point où il est possible de désigner 2 kilogrammes, 2 briques et 2 parties avec le même nombre "deux". Le fait est que vous devez faire abstraction des formes, des propriétés et de la signification des objets, puis vous pouvez effectuer certaines actions avec ces objets sous la forme de nombres naturels. Ainsi est née l'arithmétique des nombres, quidéveloppé et élargi, occupant des positions toujours plus importantes dans la vie de la société.
Des concepts de nombre aussi approfondis que le nombre zéro et négatif, les fractions, les désignations de nombres par des nombres et d'autres manières, ont une histoire de développement riche et intéressante.
Égyptiens arithmétiques et pratiques
Les deux plus anciens compagnons humains pour explorer le monde qui nous entoure et résoudre les problèmes quotidiens sont l'arithmétique et la géométrie.
On pense que l'histoire de l'arithmétique trouve son origine dans l'Orient ancien: en Inde, en Égypte, à Babylone et en Chine. Ainsi, le papyrus Rinda d'origine égyptienne (ainsi nommé car il appartenait au propriétaire du même nom), datant du 20ème siècle. BC, en plus d'autres données précieuses, contient l'expansion d'une fraction dans la somme de fractions avec différents dénominateurs et un numérateur égal à un.
Par exemple: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Mais quel est l'intérêt d'une décomposition aussi complexe ? Le fait est que l'approche égyptienne ne tolérait pas les pensées abstraites sur les nombres, au contraire, les calculs n'étaient effectués qu'à des fins pratiques. C'est-à-dire que l'Égyptien se livrera à des calculs, uniquement pour construire une tombe, par exemple. Il fallait calculer la longueur du bord de la structure, ce qui obligeait une personne à s'asseoir derrière le papyrus. Comme vous pouvez le voir, les progrès égyptiens dans les calculs ont été causés plutôt par la construction de masse que par l'amour de la science.
Pour cette raison, les calculs trouvés sur les papyrus ne peuvent pas être qualifiés de réflexions sur le thème des fractions. Il s'agit très probablement d'une préparation pratique qui a aidé à l'avenir.résoudre des problèmes avec des fractions. Les anciens Égyptiens, qui ne connaissaient pas les tables de multiplication, faisaient des calculs assez longs, décomposés en de nombreuses sous-tâches. C'est peut-être l'une de ces sous-tâches. Il est facile de voir que les calculs avec de telles pièces sont très laborieux et peu prometteurs. C'est peut-être pour cette raison que nous ne voyons pas la grande contribution de l'Égypte ancienne au développement des mathématiques.
Grèce antique et arithmétique philosophique
De nombreuses connaissances de l'Orient ancien ont été maîtrisées avec succès par les anciens Grecs, célèbres amateurs de réflexions abstraites, abstraites et philosophiques. Ils n'étaient pas moins intéressés par la pratique, mais il est difficile de trouver les meilleurs théoriciens et penseurs. Cela a profité à la science, puisqu'il est impossible de se plonger dans l'arithmétique sans la détacher de la réalité. Bien sûr, vous pouvez multiplier 10 vaches et 100 litres de lait, mais vous n'irez pas très loin.
Les Grecs profondément pensants ont laissé une marque significative dans l'histoire, et leurs écrits nous sont parvenus:
- Euclide et les éléments.
- Pythagore.
- Archimède.
- Ératosthène.
- Zéno.
- Anaxagore.
Et, bien sûr, les Grecs, qui transformaient tout en philosophie, et surtout les successeurs de l'œuvre de Pythagore, étaient tellement fascinés par les nombres qu'ils les considéraient comme le mystère de l'harmonie du monde. Les nombres ont été étudiés et recherchés à un point tel que certains d'entre eux et leurs paires se sont vu attribuer des propriétés spéciales. Par exemple:
- Les nombres parfaits sont ceux qui sont égaux à la somme de tous leurs diviseurs, à l'exception du nombre lui-même (6=1+2+3).
- Les nombres amicaux sont les nombres, dont l'unest égal à la somme de tous les diviseurs de la seconde, et vice versa (les Pythagoriciens ne connaissaient qu'une seule paire de ce type: 220 et 284).
Les Grecs, qui croyaient que la science devait être aimée, et non avec elle pour le profit, ont obtenu un grand succès en explorant, en jouant et en ajoutant des nombres. Il convient de noter que toutes leurs recherches n'ont pas été largement utilisées, certaines d'entre elles ne sont restées que "pour la beauté".
Penseurs orientaux du Moyen Âge
De même, au Moyen Âge, l'arithmétique doit son développement aux contemporains orientaux. Les Indiens nous ont donné les nombres que nous utilisons activement, un concept tel que "zéro", et la version positionnelle du calcul, familière à la perception moderne. D'Al-Kashi, qui travaillait à Samarcande au XVe siècle, nous avons hérité des fractions décimales, sans lesquelles il est difficile d'imaginer l'arithmétique moderne.
À bien des égards, la connaissance de l'Europe avec les réalisations de l'Orient est devenue possible grâce au travail du scientifique italien Leonardo Fibonacci, qui a écrit l'ouvrage "Le Livre de l'Abacus", introduisant les innovations orientales. Il est devenu la pierre angulaire du développement de l'algèbre et de l'arithmétique, de la recherche et des activités scientifiques en Europe.
Arithmétique russe
Et, enfin, l'arithmétique, qui a trouvé sa place et s'est enracinée en Europe, a commencé à se répandre sur les terres russes. La première arithmétique russe a été publiée en 1703 - c'était un livre sur l'arithmétique de Leonty Magnitsky. Pendant longtemps, il est resté le seul manuel de mathématiques. Il contient les moments initiaux de l'algèbre et de la géométrie. Les nombres utilisés dans les exemples du premier manuel d'arithmétique en Russie sont l'arabe. Bien que des chiffres arabes aient déjà été vus sur des gravures datant du 17ème siècle.
Le livre lui-même est décoré d'images d'Archimède et de Pythagore, et sur la première feuille - l'image de l'arithmétique sous la forme d'une femme. Elle est assise sur un trône, sous elle est écrit en hébreu un mot désignant le nom de Dieu, et sur les marches qui mènent au trône, sont inscrits les mots « division », « multiplication », « addition », etc. qui sont maintenant considérés comme banals.
Un manuel de 600 pages couvre à la fois les bases comme les tables d'addition et de multiplication et les applications aux sciences de la navigation.
Il n'est pas surprenant que l'auteur ait choisi des images de penseurs grecs pour son livre, car lui-même était captivé par la beauté de l'arithmétique, en disant: "L'arithmétique est le numérateur, il y a de l'art honnête, peu enviable…". Cette approche de l'arithmétique est tout à fait justifiée, car c'est son introduction généralisée qui peut être considérée comme le début du développement rapide de la pensée scientifique en Russie et de l'enseignement général.
Prime non premier
Un nombre premier est un nombre naturel qui n'a que 2 diviseurs positifs: 1 et lui-même. Tous les autres nombres, à l'exception de 1, sont appelés composés. Exemples de nombres premiers: 2, 3, 5, 7, 11 et tous les autres qui n'ont pas d'autres diviseurs que 1 et lui-même.
Quant au numéro 1, il est sur un compte spécial - il y a un accord qu'il ne doit être considéré ni simple ni composé. Simple à première vue, un simple nombre cache de nombreux mystères non résolus en lui-même.
Le théorème d'Euclide dit qu'il y a un nombre infini de nombres premiers, et Eratosthène a inventé un "tamis" arithmétique spécial qui élimine les nombres non premiers, ne laissant que les nombres simples.
Son essence est de souligner le premier nombre non barré, puis de barrer ceux qui en sont des multiples. Nous répétons cette procédure plusieurs fois - et nous obtenons une table de nombres premiers.
Le théorème fondamental de l'arithmétique
Parmi les observations sur les nombres premiers, le théorème fondamental de l'arithmétique doit être mentionné d'une manière spéciale.
Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que tout entier supérieur à 1 est soit premier, soit qu'il peut être décomposé en un produit de nombres premiers jusqu'à l'ordre des facteurs, et de manière unique.
Le théorème principal de l'arithmétique s'avère plutôt lourd, et sa compréhension ne ressemble plus aux bases les plus simples.
À première vue, les nombres premiers sont un concept élémentaire, mais ils ne le sont pas. Autrefois, la physique considérait l'atome comme élémentaire, jusqu'à ce qu'elle y trouve tout l'univers. Une merveilleuse histoire du mathématicien Don Tzagir "Les cinquante premiers millions de nombres premiers" est dédiée aux nombres premiers.
De "trois pommes" aux lois déductives
Ce que l'on peut vraiment appeler le fondement renforcé de toute science, ce sont les lois de l'arithmétique. Même dans l'enfance, tout le monde est confronté à l'arithmétique, étudiant le nombre de jambes et de bras de poupées,le nombre de cubes, de pommes, etc. C'est ainsi que l'on étudie l'arithmétique, qui passe ensuite à des règles plus complexes.
Toute notre vie nous familiarise avec les règles de l'arithmétique, qui sont devenues pour le commun des mortels les plus utiles de tout ce que la science donne. L'étude des nombres est "l'arithmétique-bébé", qui initie une personne au monde des nombres sous forme de nombres dans la petite enfance.
L'arithmétique supérieure est une science déductive qui étudie les lois de l'arithmétique. Nous connaissons la plupart d'entre eux, bien que nous ne connaissions peut-être pas leur formulation exacte.
La loi de l'addition et de la multiplication
Deux nombres naturels quelconques a et b peuvent être exprimés comme une somme a+b, qui sera également un nombre naturel. Les lois suivantes s'appliquent à l'addition:
- Commutative, qui dit que la somme ne change pas à partir du réarrangement des termes, ou a+b=b+a.
- Associative, qui dit que la somme ne dépend pas de la façon dont les termes sont regroupés en places, ou a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Les règles de l'arithmétique, comme l'addition, sont parmi les plus élémentaires, mais elles sont utilisées par toutes les sciences, sans parler de la vie quotidienne.
Deux nombres naturels quelconques a et b peuvent être exprimés sous la forme d'un produit ab ou ab, qui est également un nombre naturel. Les mêmes lois commutatives et associatives s'appliquent au produit qu'à l'addition:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Je me demandequ'il existe une loi qui unit l'addition et la multiplication, aussi appelée loi distributive ou distributive:
a(b+c)=ab+ac
Cette loi nous apprend en fait à travailler avec des parenthèses en les développant, ainsi nous pouvons travailler avec des formules plus complexes. Ce sont les lois qui nous guideront à travers le monde bizarre et complexe de l'algèbre.
La loi de l'ordre arithmétique
La loi de l'ordre est utilisée quotidiennement par la logique humaine, comparant des montres et comptant des billets de banque. Et, néanmoins, il doit être formalisé sous la forme de formulations spécifiques.
Si nous avons deux nombres naturels a et b, alors les options suivantes sont possibles:
- a est égal à b, ou a=b;
- a est inférieur à b, ou a < b;
- a est supérieur à b, ou a > b.
Sur trois options, une seule peut être juste. La loi fondamentale qui régit l'ordre dit: si a < b et b < c, alors a< c.
Il existe aussi des lois concernant l'ordre de la multiplication et de l'addition: si a< est b, alors a + c < b+c et ac< bc.
Les lois de l'arithmétique nous apprennent à travailler avec des nombres, des signes et des parenthèses, transformant tout en une symphonie harmonieuse de nombres.
Calcul positionnel et non positionnel
On peut dire que les nombres sont un langage mathématique, dont beaucoup dépend de la commodité. Il existe de nombreux systèmes de numération qui, comme les alphabets des différentes langues, diffèrent les uns des autres.
Considérons les systèmes de numération du point de vue de l'influence de la position sur la valeur quantitativechiffres dans cette position. Ainsi, par exemple, le système romain est non positionnel, où chaque nombre est codé par un certain ensemble de caractères spéciaux: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Ils sont égaux, respectivement, aux nombres 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. Dans un tel système, le nombre ne change pas sa définition quantitative en fonction de la position dans laquelle il se trouve: premier, deuxième, etc. Pour obtenir d'autres nombres, il faut ajouter ceux de base. Par exemple:
- DCC=700.
- CCM=800.
Le système de numération qui nous est le plus familier en utilisant des chiffres arabes est positionnel. Dans un tel système, le chiffre d'un nombre détermine le nombre de chiffres, par exemple, des nombres à trois chiffres: 333, 567, etc. Le poids de n'importe quel chiffre dépend de la position dans laquelle se trouve tel ou tel chiffre, par exemple, le chiffre 8 en deuxième position a une valeur de 80. Ceci est typique du système décimal, il existe d'autres systèmes de position, par exemple, binaire.
Arithmétique binaire
Nous connaissons le système décimal, composé de nombres à un chiffre et de nombres à plusieurs chiffres. Le nombre à gauche d'un nombre à plusieurs chiffres est dix fois plus significatif que celui de droite. Ainsi, nous sommes habitués à lire 2, 17, 467, etc. La section appelée "arithmétique binaire" a une logique et une approche complètement différentes. Ce n'est pas surprenant, car l'arithmétique binaire a été créée non pas pour la logique humaine, mais pour la logique informatique. Si l'arithmétique des nombres provient du comptage des objets, qui a été davantage extrait des propriétés de l'objet en arithmétique "nue", cela ne fonctionnera pas avec un ordinateur. Pouvoir partageravec sa connaissance d'un ordinateur, une personne devait inventer un tel modèle de calcul.
L'arithmétique binaire fonctionne avec l'alphabet binaire, qui se compose uniquement de 0 et de 1. Et l'utilisation de cet alphabet s'appelle le système binaire.
La différence entre l'arithmétique binaire et l'arithmétique décimale est que la signification de la position à gauche n'est plus 10, mais 2 fois. Les nombres binaires sont de la forme 111, 1001, etc. Comment comprendre de tels nombres ? Alors, considérez le nombre 1100:
- Le premier chiffre à gauche est 18=8, en se rappelant que le quatrième chiffre, ce qui signifie qu'il doit être multiplié par 2, nous obtenons la position 8.
- Deuxième chiffre 14=4 (position 4).
- Troisième chiffre 02=0 (position 2).
- Quatrième chiffre 01=0 (position 1).
- Donc notre nombre est 1100=8+4+0+0=12.
C'est-à-dire que lors du passage à un nouveau chiffre à gauche, sa signification dans le système binaire est multipliée par 2 et en décimal - par 10. Un tel système a un moins: c'est une trop grande augmentation de chiffres nécessaires à l'écriture des nombres. Des exemples de représentation de nombres décimaux sous forme de nombres binaires peuvent être trouvés dans le tableau suivant.
Les nombres décimaux sous forme binaire sont indiqués ci-dessous.
Les systèmes octal et hexadécimal sont également utilisés.
Cette arithmétique mystérieuse
Qu'est-ce que l'arithmétique, "deux fois deux" ou les mystères inexplorés des nombres ? Comme vous pouvez le voir, l'arithmétique peut sembler simple à première vue, mais sa facilité non évidente est trompeuse. Il peut également être étudié par les enfants avec tante Owl dedessin animé "Arithmétique-bébé", et vous pourrez vous immerger dans des recherches profondément scientifiques d'ordre presque philosophique. Dans l'histoire, elle est passée du comptage d'objets à l'adoration de la beauté des nombres. Une seule chose est sûre: avec l'établissement des postulats de base de l'arithmétique, toute science peut compter sur sa solide épaule.
