La fonction et l'étude de ses caractéristiques est l'un des chapitres clés des mathématiques modernes. Le composant principal de toute fonction est constitué de graphiques représentant non seulement ses propriétés, mais également les paramètres de la dérivée de cette fonction. Jetons un coup d'œil à ce sujet délicat. Alors, quelle est la meilleure façon de trouver les points maximum et minimum d'une fonction ?
Fonction: Définition
Toute variable qui dépend d'une manière ou d'une autre des valeurs d'une autre valeur peut être appelée une fonction. Par exemple, la fonction f(x2) est quadratique et détermine les valeurs pour tout l'ensemble x. Disons que x=9, alors la valeur de notre fonction sera égale à 92=81.
Les fonctions sont de plusieurs types: logiques, vectorielles, logarithmiques, trigonométriques, numériques et autres. Des esprits aussi remarquables que Lacroix, Lagrange, Leibniz et Bernoulli ont été engagés dans leur étude. Leurs écrits servent de rempart aux façons modernes d'étudier les fonctions. Avant de trouver les points minimaux, il est très important de comprendre le sens même de la fonction et de sa dérivée.
La dérivée et son rôle
Toutes les fonctions sont dansen fonction de leurs valeurs variables, ce qui signifie qu'ils peuvent changer leur valeur à tout moment. Sur le graphique, cela sera représenté comme une courbe qui descend ou monte le long de l'axe y (c'est l'ensemble des nombres "y" le long de la verticale du graphique). Et ainsi la définition d'un point d'un maximum et d'un minimum de fonction est simplement liée à ces "oscillations". Expliquons ce qu'est cette relation.
La dérivée de n'importe quelle fonction est tracée sur un graphique afin d'étudier ses principales caractéristiques et de calculer à quelle vitesse la fonction change (c'est-à-dire change sa valeur en fonction de la variable "x"). Au moment où la fonction augmente, le graphique de sa dérivée augmentera également, mais à tout moment la fonction peut commencer à diminuer, puis le graphique de la dérivée diminuera. Les points auxquels la dérivée passe de moins à plus sont appelés points minimaux. Afin de savoir comment trouver les points minimums, vous devez mieux comprendre le concept de la dérivée.
Comment calculer la dérivée ?
Définir et calculer la dérivée d'une fonction implique plusieurs concepts du calcul différentiel. En général, la définition même de la dérivée peut être exprimée comme suit: c'est la valeur qui indique le taux de variation de la fonction.
La manière mathématique de le déterminer pour de nombreux étudiants semble compliquée, mais en fait tout est beaucoup plus simple. Vous n'avez qu'à suivreplan standard pour trouver la dérivée de n'importe quelle fonction. Ce qui suit décrit comment trouver le point minimum d'une fonction sans appliquer les règles de différenciation et sans mémoriser le tableau des dérivées.
- Vous pouvez calculer la dérivée d'une fonction à l'aide d'un graphique. Pour ce faire, vous devez représenter la fonction elle-même, puis prendre un point dessus (point A sur la Fig.) Tracez une ligne verticalement jusqu'à l'axe des abscisses (point x0), et au point A tracer une tangente à la fonction graphique. L'axe des abscisses et la tangente forment un angle a. Pour calculer la valeur de la vitesse à laquelle la fonction augmente, vous devez calculer la tangente de cet angle a.
- Il s'avère que la tangente de l'angle entre la tangente et la direction de l'axe des x est la dérivée de la fonction dans une petite zone avec le point A. Cette méthode est considérée comme un moyen géométrique de déterminer la dérivée.
Méthodes de recherche d'une fonction
Dans le programme scolaire de mathématiques, il est possible de trouver le point minimum d'une fonction de deux manières. Nous avons déjà analysé la première méthode à l'aide du graphe, mais comment déterminer la valeur numérique de la dérivée ? Pour ce faire, vous devrez apprendre plusieurs formules décrivant les propriétés de la dérivée et aidant à convertir des variables telles que "x" en nombres. La méthode suivante est universelle, elle peut donc être appliquée à presque toutes sortes de fonctions (à la fois géométriques et logarithmiques).
- Il faut assimiler la fonction à la fonction dérivée, puis simplifier l'expression en utilisant les règlesdifférenciation.
- diviser par zéro).
- Après cela, vous devez convertir la forme originale de la fonction en une équation simple, en assimilant l'expression entière à zéro. Par exemple, si la fonction ressemble à ceci: f(x)=2x3+38x, alors selon les règles de différenciation, sa dérivée est égale à f'(x)=3x 2 +1. Puis on transforme cette expression en une équation de la forme suivante: 3x2+1=0.
- Après avoir résolu l'équation et trouvé les points "x", vous devez les dessiner sur l'axe des x et déterminer si la dérivée dans ces zones entre les points marqués est positive ou négative. Après la désignation, il deviendra clair à quel point la fonction commence à diminuer, c'est-à-dire qu'elle change de signe de moins à l'opposé. C'est de cette façon que vous pouvez trouver les points minimum et maximum.
Règles de différenciation
La partie la plus fondamentale de l'apprentissage d'une fonction et de sa dérivée est de connaître les règles de différenciation. Ce n'est qu'avec leur aide qu'il est possible de transformer des expressions encombrantes et de grandes fonctions complexes. Faisons connaissance avec eux, il y en a beaucoup, mais ils sont tous très simples en raison des propriétés régulières des fonctions de puissance et logarithmiques.
- La dérivée de toute constante est nulle (f(x)=0). Autrement dit, la dérivée f(x)=x5+ x - 160 prendra la forme suivante: f' (x)=5x4+1.
- La dérivée de la somme de deux termes: (f+w)'=f'w + fw'.
- Dérivée d'une fonction logarithmique: (logad)'=d/ln ad. Cette formule s'applique à tous les types de logarithmes.
- Dérivée du degré: (x)'=nxn-1. Par exemple, (9x2)'=92x=18x.
- Dérivée d'une fonction sinusoïdale: (sin a)'=cos a. Si le sin de l'angle a est 0,5, alors sa dérivée est √3/2.
Points extrêmes
Nous avons déjà compris comment trouver les points minimum, cependant, il y a le concept de points maximum d'une fonction. Si le minimum désigne les points auxquels la fonction passe de moins à plus, alors les points maximaux sont les points sur l'axe des x où la dérivée de la fonction passe de plus à l'opposé - moins.
Vous pouvez trouver les points maximaux en utilisant la méthode décrite ci-dessus, mais il faut tenir compte du fait qu'ils désignent les zones où la fonction commence à diminuer, c'est-à-dire que la dérivée sera inférieure à zéro.
En mathématiques, il est d'usage de généraliser les deux concepts, en les remplaçant par l'expression "points extrêmes". Lorsque la tâche demande de déterminer ces points, cela signifie qu'il faut calculer la dérivée de cette fonction et trouver les points minimum et maximum.
