La théorie des probabilités est une branche spéciale des mathématiques, qui n'est étudiée que par les étudiants des établissements d'enseignement supérieur. Vous aimez les calculs et les formules ? N'avez-vous pas peur des perspectives de connaissance de la distribution normale, de l'entropie de l'ensemble, de l'espérance mathématique et de la variance d'une variable aléatoire discrète ? Alors ce sujet vous intéressera beaucoup. Faisons connaissance avec certains des concepts de base les plus importants de cette section de la science.
Rappeler les bases
Même si vous vous souvenez des concepts les plus simples de la théorie des probabilités, ne négligez pas les premiers paragraphes de l'article. Le fait est que sans une compréhension claire des bases, vous ne pourrez pas travailler avec les formules décrites ci-dessous.
Donc, il y a un événement aléatoire, une expérience. À la suite des actions effectuées, nous pouvons obtenir plusieurs résultats - certains d'entre eux sont plus courants, d'autres moins courants. La probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre de résultats réellement reçus d'un type et le nombre total de résultats possibles. Connaissant seulement la définition classique de ce concept, vous pouvez commencer à étudier l'espérance mathématique et la variance devariables aléatoires.
Moyenne arithmétique
Même à l'école, dans les cours de mathématiques, tu as commencé à travailler avec la moyenne arithmétique. Ce concept est largement utilisé dans la théorie des probabilités et ne peut donc être ignoré. La chose principale pour nous pour le moment est que nous la rencontrerons dans les formules de l'espérance mathématique et de la variance d'une variable aléatoire.
Nous avons une suite de nombres et voulons trouver la moyenne arithmétique. Tout ce qui nous est demandé est de faire la somme de tout ce qui est disponible et de diviser par le nombre d'éléments de la séquence. Soit des nombres de 1 à 9. La somme des éléments sera 45, et nous diviserons cette valeur par 9. Réponse: - 5.
Dispersion
Scientifiquement parlant, la variance est le carré moyen des écarts des valeurs de caractéristiques obtenues par rapport à la moyenne arithmétique. L'un est désigné par une lettre latine majuscule D. Que faut-il pour le calculer ? Pour chaque élément de la séquence, on calcule la différence entre le nombre disponible et la moyenne arithmétique et on la met au carré. Il y aura exactement autant de valeurs qu'il peut y avoir de résultats pour l'événement que nous envisageons. Ensuite, nous résumons tout ce que nous avons reçu et divisons par le nombre d'éléments de la séquence. Si nous avons cinq résultats possibles, alors divisez par cinq.
La dispersion a également des propriétés dont vous devez vous souvenir afin de l'appliquer lors de la résolution de problèmes. Par exemple, si la variable aléatoire est augmentée de X fois, la variance augmente de X fois le carré (c'est-à-dire XX). Il n'est jamais inférieur à zéro et ne dépend pas dedécaler les valeurs d'une valeur égale vers le haut ou vers le bas. De plus, pour les essais indépendants, la variance de la somme est égale à la somme des variances.
Maintenant, nous devons absolument considérer des exemples de la variance d'une variable aléatoire discrète et de l'espérance mathématique.
Supposons que nous ayons effectué 21 expériences et obtenu 7 résultats différents. Nous avons observé chacun d'eux, respectivement, 1, 2, 2, 3, 4, 4 et 5 fois. Quelle sera la variance ?
Premièrement, calculons la moyenne arithmétique: la somme des éléments, bien sûr, est 21. Divisez-la par 7, ce qui donne 3. Maintenant, soustrayez 3 de chaque nombre de la séquence d'origine, mettez chaque valeur au carré et ajoutez les résultats ensemble. Il s'avère 12. Il ne nous reste plus qu'à diviser le nombre par le nombre d'éléments, et, semble-t-il, c'est tout. Mais il ya un hic! Discutons-en.
Dépendance au nombre d'expériences
Il s'avère que lors du calcul de la variance, le dénominateur peut être l'un des deux nombres: N ou N-1. Ici N est le nombre d'expériences réalisées ou le nombre d'éléments dans la séquence (qui, en fait, est le même). De quoi dépend-il ?
Si le nombre de tests est mesuré en centaines, alors nous devons mettre N au dénominateur. Si en unités, alors N-1. Les scientifiques ont décidé de tracer la frontière assez symboliquement: aujourd'hui, elle longe le nombre 30. Si nous avons mené moins de 30 expériences, nous diviserons le montant par N-1, et s'il y en a plus, alors par N.
Tâche
Revenons à notre exemple de résolution du problème de variance et d'espérance. Nousreçu un nombre intermédiaire de 12, qu'il a fallu diviser par N ou N-1. Puisque nous avons mené 21 expériences, soit moins de 30, nous choisirons la deuxième option. La réponse est donc: la variance est de 12 / 2=2.
Attente
Passons au deuxième concept, que nous devons considérer dans cet article. L'espérance mathématique est le résultat de l'addition de tous les résultats possibles multipliés par les probabilités correspondantes. Il est important de comprendre que la valeur résultante, ainsi que le résultat du calcul de la variance, n'est obtenu qu'une seule fois pour l'ensemble de la tâche, quel que soit le nombre de résultats pris en compte.
La formule d'attente est assez simple: nous prenons un résultat, le multiplions par sa probabilité, ajoutons la même chose pour le deuxième, le troisième résultat, etc. Tout ce qui concerne ce concept est facile à calculer. Par exemple, la somme des attentes mathématiques est égale à l'espérance mathématique de la somme. Il en est de même pour le travail. Toutes les quantités de la théorie des probabilités ne permettent pas d'effectuer des opérations aussi simples. Prenons une tâche et calculons la valeur de deux concepts que nous avons étudiés à la fois. De plus, nous avons été distraits par la théorie - il est temps de pratiquer.
Un autre exemple
Nous avons effectué 50 essais et obtenu 10 types de résultats (nombres de 0 à 9) apparaissant dans différents pourcentages. Ce sont respectivement: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Rappelez-vous que pour obtenir les probabilités, vous devez diviser les valeurs en pourcentage par 100. Ainsi, nous obtenons 0,02; 0, 1, etc… Représentons pour la variance d'un nombre aléatoirevaleur et espérance mathématique exemple de résolution du problème.
Calculez la moyenne arithmétique en utilisant la formule dont nous nous souvenons à l'école primaire: 50/10=5.
Traduisons maintenant les probabilités en nombre de résultats "en morceaux" pour faciliter le comptage. On obtient 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 et 9. Soustraire la moyenne arithmétique de chaque valeur obtenue, après quoi on met au carré chacun des résultats obtenus. Voyez comment procéder en utilisant le premier élément comme exemple: 1 - 5=(-4). Plus loin: (-4)(-4)=16. Pour les autres valeurs, faites ces opérations vous-même. Si vous avez tout fait correctement, après avoir ajouté tous les résultats intermédiaires, vous obtiendrez 90.
Continuez à calculer la variance et la moyenne en divisant 90 par N. Pourquoi choisissons-nous N et non N-1 ? C'est vrai, car le nombre d'expériences réalisées dépasse 30. Donc: 90/10=9. Nous avons obtenu la dispersion. Si vous obtenez un numéro différent, ne désespérez pas. Très probablement, vous avez fait une erreur banale dans les calculs. Revérifiez ce que vous avez écrit et tout se mettra sûrement en place.
Enfin, rappelons-nous la formule d'attente. Nous ne donnerons pas tous les calculs, nous n'écrirons que la réponse avec laquelle vous pourrez vérifier après avoir terminé toutes les procédures requises. L'espérance sera égale à 5, 48. Nous rappelons seulement comment effectuer les opérations, en prenant l'exemple des premiers éléments: 00, 02 + 10, 1… et ainsi de suite. Comme vous pouvez le voir, nous multiplions simplement la valeur du résultat par sa probabilité.
Déviation
Un autre concept étroitement lié à la variance et à la valeur attendue estécart-type. Il est désigné soit par les lettres latines sd, soit par le grec minuscule « sigma ». Ce concept montre comment, en moyenne, les valeurs s'écartent de la caractéristique centrale. Pour trouver sa valeur, vous devez calculer la racine carrée de la variance.
Si vous construisez un graphique d'une distribution normale et que vous voulez voir la valeur de l'écart type directement dessus, cela peut se faire en plusieurs étapes. Prenez la moitié de l'image à gauche ou à droite du mode (valeur centrale), tracez une perpendiculaire à l'axe horizontal de sorte que les aires des figures résultantes soient égales. La valeur du segment entre le milieu de la distribution et la projection résultante sur l'axe horizontal sera l'écart type.
Logiciel
Comme vous pouvez le voir à partir des descriptions des formules et des exemples présentés, le calcul de la variance et de l'espérance mathématique n'est pas la procédure la plus simple d'un point de vue arithmétique. Afin de ne pas perdre de temps, il est logique d'utiliser le programme utilisé dans l'enseignement supérieur - il s'appelle "R". Il a des fonctions qui vous permettent de calculer des valeurs pour de nombreux concepts de la statistique et de la théorie des probabilités.
Par exemple, vous définissez un vecteur de valeurs. Cela se fait comme suit: vecteur <-c(1, 5, 2…). Maintenant, lorsque vous avez besoin de calculer certaines valeurs pour ce vecteur, vous écrivez une fonction et lui donnez comme argument. Pour trouver la variance, vous devrez utiliser la variable var. Un exemple d'elleusage: var(vecteur). Ensuite, appuyez simplement sur "Entrée" et obtenez le résultat.
En conclusion
La variance et l'espérance mathématique sont les concepts de base de la théorie des probabilités, sans lesquels il est difficile de calculer quoi que ce soit dans le futur. Dans le cours principal des cours dans les universités, ils sont déjà pris en compte dans les premiers mois d'étude du sujet. C'est précisément à cause du manque de compréhension de ces concepts simples et de l'incapacité à les calculer que de nombreux étudiants commencent immédiatement à prendre du retard dans le programme et reçoivent ensuite de mauvaises notes à la fin de la session, ce qui les prive de bourses.
Entraînez-vous au moins une semaine, une demi-heure par jour, à résoudre des problèmes similaires à ceux présentés dans cet article. Ensuite, sur n'importe quel test de théorie des probabilités, vous ferez face à des exemples sans astuces superflues ni aide-mémoire.
