Qu'est-ce qu'une variable ? Variable en mathématiques

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

L'importance des variables en mathématiques est grande, car au cours de son existence, les scientifiques ont réussi à faire de nombreuses découvertes dans ce domaine, et afin d'énoncer brièvement et clairement tel ou tel théorème, nous utilisons des variables pour écrire les formules correspondantes. Par exemple, le théorème de Pythagore sur un triangle rectangle: a² =b² + c^{2. Comment écrire à chaque fois lors de la résolution d'un problème: selon le théorème de Pythagore, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes - nous l'écrivons avec une formule, et tout devient immédiatement clair.}

Donc, cet article discutera de ce que sont les variables, de leurs types et de leurs propriétés. Diverses expressions mathématiques seront également envisagées: inégalités, formules, systèmes et algorithmes pour leur résolution.

Concept variable

Tout d'abord, qu'est-ce qu'une variable ? C'est une valeur numérique qui peut prendre plusieurs valeurs. Il ne peut pas être constant, car dans différents problèmes et équations, par commodité, nous prenons les solutions commedifférents nombres variables, c'est-à-dire, par exemple, z est une désignation générale pour chacune des grandeurs pour lesquelles il est pris. Ils sont généralement désignés par des lettres de l'alphabet latin ou grec (x, y, a, b, etc.).

Il existe différents types de variables. Ils définissent à la fois des quantités physiques - chemin (S), temps (t) et simplement des valeurs inconnues dans les équations, fonctions et autres expressions.

Par exemple, il existe une formule: S=Vt. Ici, les variables désignent certaines quantités liées au monde réel - le chemin, la vitesse et le temps.

Et il y a une équation de la forme: 3x - 16=12x. Ici, x est déjà considéré comme un nombre abstrait qui a du sens dans cette notation.

Types de quantités

Quantité signifie quelque chose qui exprime les propriétés d'un certain objet, substance ou phénomène. Par exemple, la température de l'air, le poids d'un animal, le pourcentage de vitamines dans un comprimé - ce sont toutes des quantités dont les valeurs numériques peuvent être calculées.

Chaque quantité a ses propres unités de mesure, qui forment ensemble un système. C'est ce qu'on appelle le système de numération (SI).

Que sont les variables et les constantes ? Considérez-les avec des exemples spécifiques.

Prenons un mouvement uniforme rectiligne. Un point dans l'espace se déplace à la même vitesse à chaque fois. Autrement dit, le temps et la distance changent, mais la vitesse reste la même. Dans cet exemple, le temps et la distance sont des variables et la vitesse est constante.

Ou, par exemple, "pi". C'est un nombre irrationnel qui continue sans se répéterune séquence de chiffres et ne peut pas être écrit en entier, donc en mathématiques, il est exprimé par un symbole généralement accepté qui ne prend que la valeur d'une fraction infinie donnée. Autrement dit, "pi" est une valeur constante.

Histoire

L'histoire de la notation des variables commence au XVIIe siècle avec le savant René Descartes.

Il a désigné les valeurs connues avec les premières lettres de l'alphabet: a, b et ainsi de suite, et pour l'inconnu il a suggéré d'utiliser les dernières lettres: x, y, z. Il est à noter que Descartes considérait ces variables comme des nombres non négatifs et, face à des paramètres négatifs, il mettait un signe moins devant la variable ou, si on ne savait pas de quel signe était le nombre, une ellipse. Mais au fil du temps, les noms des variables ont commencé à désigner des nombres de n'importe quel signe, et cela a commencé avec le mathématicien Johann Hudde.

Avec les variables, les calculs en mathématiques sont plus faciles à résoudre, car, par exemple, comment résout-on maintenant les équations biquadratiques ? Nous entrons dans une variable. Par exemple:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Pour x2 on prend un k, et l'équation devient claire:

x2=k, pour k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

C'est ce que l'introduction de variables apporte aux mathématiques.

Inégalités, exemples de solutions

Une inégalité est un enregistrement dans lequel deux expressions mathématiques ou deux nombres sont reliés par des signes de comparaison:, ≦, ≧. Ils sont stricts et indiqués par des signes ou non stricts avec des signes ≦, ≧.

Pour la première fois ces signes introduitsThomas Harriot. Après la mort de Thomas, son livre avec ces notations a été publié, les mathématiciens les ont aimées et, au fil du temps, elles sont devenues largement utilisées dans les calculs mathématiques.

Il y a plusieurs règles à suivre lors de la résolution d'inégalités à une seule variable:

Lorsque vous transférez un nombre d'une partie de l'inégalité à une autre, changez son signe en son contraire.
Lorsque vous multipliez ou divisez des parties d'une inéquation par un nombre négatif, leurs signes sont inversés.
Si vous multipliez ou divisez les deux côtés de l'inégalité par un nombre positif, vous obtenez une inégalité égale à celle d'origine.

Résoudre une inéquation signifie trouver toutes les valeurs valides pour une variable.

Exemple de variable unique:

10x - 50 > 150

Nous le résolvons comme une équation linéaire normale - nous déplaçons les termes avec une variable vers la gauche, sans variable - vers la droite et donnons des termes similaires:

10x > 200

On divise les deux côtés de l'inégalité par 10 et on obtient:

x > 20

Pour plus de clarté, dans l'exemple de la résolution d'une inéquation à une variable, tracez une droite numérique, marquez dessus le point percé 20, car l'inégalité est stricte et ce nombre n'est pas inclus dans l'ensemble de ses solutions.

La solution de cette inégalité est l'intervalle (20; +∞).

La résolution d'une inégalité non stricte s'effectue de la même manière qu'une inégalité stricte:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Mais il y a une exception. Un enregistrement de la forme x ≧ 5 doit être compris comme suit: x est supérieur ou égal à cinq, ce qui signifiele nombre cinq est inclus dans l'ensemble de toutes les solutions à l'inégalité, c'est-à-dire que lors de l'écriture de la réponse, nous mettons un crochet devant le nombre cinq.

x ∈ [5; +∞)

Inégalités carrées

Si nous prenons une équation quadratique de la forme ax2 + bx +c=0 et changeons le signe égal en signe d'inégalité, alors nous obtiendrons en conséquence un inégalité quadratique.

Pour résoudre une inégalité quadratique, vous devez être capable de résoudre des équations quadratiques.

y=ax2 + bx + c est une fonction quadratique. Nous pouvons le résoudre en utilisant le discriminant, ou en utilisant le théorème de Vieta. Rappelez-vous comment ces équations sont résolues:

1) y=x2 + 12x + 11 - la fonction est une parabole. Ses branches sont dirigées vers le haut, puisque le signe du coefficient "a" est positif.

2) x2 + 12x + 11=0 - égal à zéro et résoudre en utilisant le discriminant.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 racines

D'après la formule des racines de l'équation quadratique, on obtient:

x₁ =-1, x_2=-11

Ou vous pouvez résoudre cette équation en utilisant le théorème de Vieta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

En utilisant la méthode de sélection, on obtient les mêmes racines de l'équation.

Parabole

Ainsi, la première façon de résoudre une inégalité quadratique est une parabole. L'algorithme pour le résoudre est le suivant:

1. Déterminez où les branches de la parabole sont dirigées.

2. Égalez la fonction à zéro et trouvez les racines de l'équation.

3. Nous construisons une droite numérique, marquons les racines dessus, dessinons une parabole et trouvons l'écart dont nous avons besoin, en fonction du signe de l'inégalité.

Résoudre l'inégalité x2 + x - 12 > 0

Écrire en tant que fonction:

1) y=x2 + x - 12 - parabole, branches vers le haut.

Mise à zéro.

2) x2 + x -12=0

Ensuite, nous résolvons comme une équation quadratique et trouvons les zéros de la fonction:

x₁ =3, x_2=-4

3) Dessinez une droite numérique avec les points 3 et -4 dessus. La parabole les traversera, se ramifiera et la réponse à l'inégalité sera un ensemble de valeurs positives, c'est-à-dire (-∞; -4), (3; +∞).

Méthode d'intervalle

La deuxième méthode est la méthode d'espacement. Algorithme pour le résoudre:

1. Trouvez les racines de l'équation pour laquelle l'inégalité est égale à zéro.

2. Nous les marquons sur la droite numérique. Ainsi, il est divisé en plusieurs intervalles.

3. Déterminez le signe de n'importe quel intervalle.

4. Nous plaçons des signes aux intervalles restants, en les changeant après un.

Résoudre l'inégalité (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Zéros d'inégalité: 4, 5 et -7.

2) Dessinez-les sur la droite numérique.

3) Déterminer les signes des intervalles.

Réponse: (-∞; -7]; [4; 5].

Résolvez une autre inéquation: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Zéros d'inégalité: 0, 2, -2 et 1.

2. Marquez-les sur la droite numérique.

3. Déterminer les signes d'intervalle.

La ligne est divisée en intervalles - de -2 à 0, de 0 à 1, de 1 à 2.

Prenez la valeur sur le premier intervalle - (-1). Substitut dans l'inégalité. Avec cette valeur, l'inégalité devient positive, ce qui signifie que le signe sur cet intervalle sera +.

Plus loin, à partir du premier espace, nous arrangeons les signes, en les changeant après un.

L'inégalité est supérieure à zéro, c'est-à-dire que vous devez trouver un ensemble de valeurs positives sur la ligne.

Réponse: (-2; 0), (1; 2).

Systèmes d'équations

Un système d'équations à deux variables est deux équations jointes par une accolade pour lesquelles il faut trouver une solution commune.

Les systèmes peuvent être équivalents si la solution générale de l'un d'eux est la solution de l'autre, ou si les deux n'ont pas de solution.

Nous allons étudier la solution de systèmes d'équations à deux variables. Il existe deux façons de les résoudre - la méthode de substitution ou la méthode algébrique.

Méthode algébrique

Pour résoudre le système montré dans l'image en utilisant cette méthode, vous devez d'abord multiplier l'une de ses parties par un tel nombre, de sorte que plus tard, vous puissiez mutuellement annuler une variable des deux parties de l'équation. Ici, nous multiplions par trois, traçons une ligne sous le système et additionnons ses parties. En conséquence, les x deviennent identiques en module, mais opposés en signe, et nous les réduisons. Ensuite, nous obtenons une équation linéaire à une variable et la résolvons.

Nous avons trouvé Y, mais nous ne pouvons pas nous arrêter là, car nous n'avons pas encore trouvé X. RemplaçantY à la partie dont il conviendra de retirer X, par exemple:

-x + 5y=8, avec y=1

-x + 5=8

Résoudre l'équation résultante et trouver x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

L'essentiel dans la solution du système est d'écrire correctement la réponse. Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'écrire:

Réponse: -3, 1.

Mais c'est une mauvaise entrée. Après tout, comme déjà mentionné ci-dessus, lors de la résolution d'un système d'équations, nous recherchons une solution générale pour ses parties. La bonne réponse serait:

(-3; 1)