Un triangle est un polygone à trois côtés (trois coins). Le plus souvent, les côtés sont désignés par des lettres minuscules, correspondant aux lettres majuscules qui désignent des sommets opposés. Dans cet article, nous nous familiariserons avec les types de ces formes géométriques, le théorème qui détermine quelle est la somme des angles d'un triangle.
Vues par angles
Les types suivants de polygones à trois sommets sont distingués:
- angle aigu, dans lequel tous les coins sont nets;
- rectangulaire, ayant un angle droit, tandis que les côtés qui le forment sont appelés jambes, et le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse;
- obtus quand un coin est obtus;
- isocèle, dans lequel deux côtés sont égaux, et ils sont appelés latéraux, et le troisième est la base du triangle;
- équilatéral, ayant les trois côtés égaux.
Propriétés
Ils mettent en évidence les principales propriétés caractéristiques de chaque type de triangle:
- à l'opposé du côté le plus grand, il y a toujours un angle plus grand, et vice versa;
- les côtés opposés de taille égale sont des angles égaux, et vice versa;
- tout triangle a deux angles aigus;
- un coin extérieur est plus grand que tout coin intérieur qui ne lui est pas adjacent;
- la somme de deux angles quelconques est toujours inférieure à 180 degrés;
- le coin extérieur est égal à la somme des deux autres coins qui ne se croisent pas avec lui.
Théorème de la somme des angles du triangle
Le théorème stipule que si vous additionnez tous les angles d'une figure géométrique donnée, située sur le plan euclidien, leur somme sera de 180 degrés. Essayons de prouver ce théorème.
Prenons un triangle arbitraire avec des sommets de KMN.
Trace par le sommet M une droite parallèle à la droite KN (cette droite est aussi appelée droite euclidienne). Nous y marquons le point A de manière à ce que les points K et A soient situés de part et d'autre de la droite MN. Nous obtenons des angles égaux AMN et KNM, qui, comme les angles internes, sont transversaux et sont formés par la sécante MN avec des droites KN et MA, qui sont parallèles. Il en résulte que la somme des angles du triangle situé aux sommets M et H est égale à la grandeur de l'angle KMA. Les trois angles forment la somme, qui est égale à la somme des angles KMA et MKN. Comme ces angles sont intérieurs unilatéraux par rapport àdroites parallèles KN et MA avec une sécante KM, leur somme est de 180 degrés. Théorème prouvé.
Conséquence
Le corollaire suivant découle du théorème démontré ci-dessus: tout triangle a deux angles aigus. Pour le prouver, supposons qu'une figure géométrique donnée n'ait qu'un seul angle aigu. On peut également supposer qu'aucun des angles n'est aigu. Dans ce cas, il doit y avoir au moins deux angles égaux ou supérieurs à 90 degrés. Mais alors la somme des angles sera supérieure à 180 degrés. Mais cela ne peut pas être le cas, car selon le théorème, la somme des angles d'un triangle est de 180 ° - ni plus ni moins. C'est ce qu'il fallait prouver.
Propriété d'angle extérieur
Quelle est la somme des angles extérieurs d'un triangle ? Cette question peut être répondue de deux manières. La première est qu'il faut trouver la somme des angles, qui sont pris un à chaque sommet, c'est-à-dire trois angles. La seconde implique que vous devez trouver la somme des six angles aux sommets. Commençons par la première option. Ainsi, le triangle contient six coins externes - deux à chaque sommet.
Chaque paire a des angles égaux car ils sont verticaux:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
De plus, on sait que l'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme de deux angles intérieurs qui ne se coupent pas avec lui. Par conséquent, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
De là, il s'avère que la somme desles coins, qui sont pris un à chaque sommet, seront égaux à:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Étant donné que la somme des angles est de 180 degrés, on peut affirmer que ∟A + ∟B + ∟C=180°. Et cela signifie que ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Si la deuxième option est utilisée, la somme des six angles sera, respectivement, deux fois plus grande. Autrement dit, la somme des angles externes du triangle sera:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Triangle rectangle
Quelle est la somme des angles aigus d'un triangle rectangle ? La réponse à cette question, encore une fois, découle du théorème, qui stipule que les angles d'un triangle totalisent 180 degrés. Et notre déclaration (propriété) ressemble à ceci: dans un triangle rectangle, les angles aigus totalisent 90 degrés. Prouvons sa véracité.
Donnons un triangle KMN, dans lequel ∟Н=90°. Il faut prouver que ∟K + ∟M=90°.
Donc, d'après le théorème de la somme des angles ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Notre condition dit que ∟Н=90°. Il s'avère donc que ∟K + ∟M + 90°=180°. Autrement dit, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. C'est ce que nous devions prouver.
En plus des propriétés ci-dessus d'un triangle rectangle, vous pouvez ajouter ce qui suit:
- les angles qui se trouvent contre les jambes sont pointus;
- l'hypoténuse est plus triangulaire que n'importe laquelle des jambes;
- la somme des jambes est supérieure à l'hypoténuse;
- jambeun triangle opposé à un angle de 30 degrés est la moitié de l'hypoténuse, c'est-à-dire égal à la moitié de celle-ci.
Comme autre propriété de cette figure géométrique, on peut distinguer le théorème de Pythagore. Elle déclare que dans un triangle avec un angle de 90 degrés (rectangulaire), la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse.
La somme des angles d'un triangle isocèle
Plus tôt, nous avons dit qu'un isocèle est un polygone à trois sommets, contenant deux côtés égaux. Cette propriété d'une figure géométrique donnée est connue: les angles à sa base sont égaux. Prouvons-le.
Prenons le triangle KMN, qui est isocèle, KN est sa base.
Nous devons prouver que ∟К=∟Н. Donc, disons que MA est la bissectrice de notre triangle KMN. Le triangle MCA, compte tenu du premier signe d'égalité, est égal au triangle MCA. A savoir, par condition il est donné que KM=NM, MA est un côté commun, ∟1=∟2, puisque MA est une bissectrice. En utilisant le fait que ces deux triangles sont égaux, nous pouvons affirmer que ∟K=∟Н. Donc le théorème est prouvé.
Mais nous nous intéressons à la somme des angles d'un triangle (isocèle). Puisqu'à cet égard il n'a pas de particularités propres, nous partirons du théorème considéré plus haut. Autrement dit, nous pouvons dire que ∟K + ∟M + ∟H=180°, ou 2 x ∟K + ∟M=180° (puisque ∟K=∟H). Nous ne prouverons pas cette propriété, puisque le théorème de la somme du triangle lui-même a été prouvé plus tôt.
Sauf mention contrairepropriétés sur les angles d'un triangle, il y a aussi des déclarations aussi importantes:
- dans un triangle isocèle, la hauteur qui a été abaissée à la base est à la fois la médiane, la bissectrice de l'angle qui est entre les côtés égaux, ainsi que l'axe de symétrie de sa base;
- médianes (bissectrices, hauteurs) tracées sur les côtés d'une telle figure géométrique sont égales.
Triangle équilatéral
On l'appelle aussi droit, c'est le triangle dont tous les côtés sont égaux. Par conséquent, les angles sont également égaux. Chacun est de 60 degrés. Prouvons cette propriété.
Supposons que nous ayons un triangle KMN. Nous savons que KM=NM=KN. Et cela signifie que selon la propriété des angles situés à la base dans un triangle isocèle, ∟К=∟М=∟Н. Puisque, d'après le théorème, la somme des angles d'un triangle est ∟К + ∟М + ∟Н=180°, alors 3 x ∟К=180° ou ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Í=60°. Ainsi, l'énoncé est prouvé.
Comme vous pouvez le voir dans la preuve ci-dessus basée sur le théorème, la somme des angles d'un triangle équilatéral, comme la somme des angles de tout autre triangle, est de 180 degrés. Il n'est pas nécessaire de prouver à nouveau ce théorème.
Il existe aussi de telles propriétés caractéristiques d'un triangle équilatéral:
- médiane, bissectrice, hauteur dans une telle figure géométrique sont les mêmes, et leur longueur est calculée comme (a x √3): 2;
- si vous décrivez un cercle autour d'un polygone donné, alors son rayon seraest égal à (a x √3): 3;
- si vous inscrivez un cercle dans un triangle équilatéral, alors son rayon sera (a x √3): 6;
- l'aire de cette figure géométrique est calculée par la formule: (a2 x √3): 4.
Triangle à angle obt
Selon la définition d'un triangle obtus, l'un de ses angles est compris entre 90 et 180 degrés. Mais étant donné que les deux autres angles de cette figure géométrique sont aigus, on peut conclure qu'ils ne dépassent pas 90 degrés. Par conséquent, le théorème de la somme des angles du triangle fonctionne lors du calcul de la somme des angles dans un triangle obtus. Il s'avère que nous pouvons dire en toute sécurité, sur la base du théorème susmentionné, que la somme des angles d'un triangle obtus est de 180 degrés. Encore une fois, ce théorème n'a pas besoin d'être re-démontré.
