Chaque élève sait que le carré de l'hypoténuse est toujours égal à la somme des jambes, dont chacune est au carré. Cette affirmation s'appelle le théorème de Pythagore. C'est l'un des théorèmes les plus célèbres de la trigonométrie et des mathématiques en général. Considérez-le plus en détail.
Le concept d'un triangle rectangle
Avant de procéder à l'examen du théorème de Pythagore, dans lequel le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des jambes qui sont au carré, nous devons considérer le concept et les propriétés d'un triangle rectangle, pour lequel le théorème est valide.
Triangle est une figure plate avec trois angles et trois côtés. Un triangle rectangle, comme son nom l'indique, a un angle droit, c'est-à-dire que cet angle est 90o.
D'après les propriétés générales de tous les triangles, on sait que la somme des trois angles de cette figure est 180o, ce qui signifie que pour un triangle rectangle, la somme de deux angles qui ne sont pas droits, est 180o -90o=90o. Le dernier fait signifie que tout angle dans un triangle rectangle qui n'est pas un angle droit sera toujours inférieur à 90o.
Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. Les deux autres côtés sont les jambes du triangle, ils peuvent être égaux ou différents. Il est connu de la trigonométrie que plus l'angle contre lequel un côté se trouve dans un triangle est grand, plus la longueur de ce côté est grande. Cela signifie que dans un triangle rectangle l'hypoténuse (située à l'opposé de l'angle 90o) sera toujours plus grande que n'importe laquelle des jambes (située à l'opposé des angles < 90o).
Notation mathématique du théorème de Pythagore
Ce théorème dit que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des jambes, dont chacune est précédemment au carré. Pour écrire mathématiquement cette formulation, considérons un triangle rectangle dans lequel les côtés a, b et c sont respectivement les deux jambes et l'hypoténuse. Dans ce cas, le théorème, qui s'énonce comme le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes, peut être représenté par la formule suivante: c2=a 2 + b 2. À partir de là, d'autres formules importantes pour la pratique peuvent être obtenues: a=√(c2 - b2), b=√(c 2 - a2) et c=√(a2 + b2).
Notez que dans le cas d'un triangle rectangle équilatéral, c'est-à-dire a=b, la formulation: le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des jambes, dont chacuneau carré, écrit mathématiquement comme suit: c2=a2 + b2=2a 2, ce qui implique l'égalité: c=a√2.
Contexte historique
Le théorème de Pythagore, selon lequel le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des jambes, dont chacune est au carré, était connu bien avant que le célèbre philosophe grec n'y prête attention. De nombreux papyrus de l'Égypte ancienne, ainsi que des tablettes d'argile des Babyloniens, confirment que ces peuples utilisaient la propriété notée des côtés d'un triangle rectangle. Par exemple, l'une des premières pyramides égyptiennes, la pyramide de Khafré, dont la construction remonte au 26ème siècle avant JC (2000 ans avant la vie de Pythagore), a été construite sur la base de la connaissance du rapport d'aspect dans un triangle rectangle 3x4x5.
Pourquoi alors le théorème porte-t-il maintenant le nom d'un grec ? La réponse est simple: Pythagore est le premier à prouver mathématiquement ce théorème. Les écrits babyloniens et égyptiens survivants ne mentionnent que son utilisation, mais ne fournissent aucune preuve mathématique.
On pense que Pythagore a prouvé le théorème considéré en utilisant les propriétés de triangles semblables, qu'il a obtenues en traçant une hauteur dans un triangle rectangle à partir de l'angle 90o à l'hypoténuse.
Un exemple d'utilisation du théorème de Pythagore
Considérons un problème simple: il faut déterminer la longueur d'un escalier incliné L, si l'on sait qu'il a une hauteur H=3mètres, et la distance entre le mur contre lequel repose l'échelle et son pied est P=2,5 mètres.
Dans ce cas, H et P sont les jambes, et L est l'hypoténuse. Comme la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des jambes, on obtient: L2=H2 + P 2, d'où L=√(H2 + P2)=√(3 2 + 2, 5 2)=3,905 mètres ou 3 mètres et 90,5 cm.
