Même à l'école, chacun de nous a étudié les équations et, bien sûr, les systèmes d'équations. Mais peu de gens savent qu'il existe plusieurs façons de les résoudre. Aujourd'hui, nous allons analyser en détail toutes les méthodes de résolution d'un système d'équations algébriques linéaires, qui se composent de plus de deux égalités.
Histoire
Aujourd'hui, on sait que l'art de résoudre des équations et leurs systèmes trouve son origine dans l'ancienne Babylone et l'Égypte. Cependant, les égalités sous leur forme habituelle sont apparues après l'apparition du signe égal "=", introduit en 1556 par le mathématicien anglais Record. Soit dit en passant, ce signe a été choisi pour une raison: il signifie deux segments égaux parallèles. En effet, il n'y a pas de meilleur exemple d'égalité.
Le fondateur des désignations de lettres modernes des inconnues et des signes de diplômes est le mathématicien français François Viet. Cependant, ses désignations différaient considérablement de celles d'aujourd'hui. Par exemple, il a désigné le carré d'un nombre inconnu par la lettre Q (lat. "quadratus") et le cube par la lettre C (lat. "cubus"). Ces désignations semblent maintenant gênantes, mais ensuitec'était la manière la plus compréhensible d'écrire des systèmes d'équations algébriques linéaires.
Cependant, l'inconvénient des méthodes de résolution d'alors était que les mathématiciens ne considéraient que les racines positives. Cela est peut-être dû au fait que les valeurs négatives n'avaient aucune utilité pratique. D'une manière ou d'une autre, ce sont les mathématiciens italiens Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano et Rafael Bombelli qui ont été les premiers à considérer les racines négatives au XVIe siècle. Et le look moderne, la principale méthode de résolution des équations quadratiques (par le discriminant) n'a été créée qu'au 17ème siècle grâce aux travaux de Descartes et Newton.
Au milieu du XVIIIe siècle, le mathématicien suisse Gabriel Cramer a trouvé une nouvelle façon de faciliter la résolution de systèmes d'équations linéaires. Cette méthode a ensuite été nommée d'après lui et à ce jour, nous l'utilisons. Mais nous parlerons de la méthode de Cramer un peu plus tard, mais pour l'instant nous discuterons des équations linéaires et des méthodes pour les résoudre séparément du système.
Équations linéaires
Les équations linéaires sont les égalités les plus simples avec variable(s). Ils sont classés comme algébriques. Les équations linéaires sont écrites sous la forme générale suivante: 2+…a x =b. Nous aurons besoin de leur représentation sous cette forme lors de la compilation ultérieure de systèmes et de matrices.
Systèmes d'équations algébriques linéaires
La définition de ce terme est la suivante: c'est un ensemble d'équations qui ont des inconnues communes et une solution commune. En règle générale, à l'école, tout était décidé par des systèmesavec deux voire trois équations. Mais il existe des systèmes à quatre composants ou plus. Voyons d'abord comment les écrire afin qu'il soit commode de les résoudre plus tard. Premièrement, les systèmes d'équations algébriques linéaires auront meilleure apparence si toutes les variables sont écrites sous la forme x avec l'indice approprié: 1, 2, 3, etc. Deuxièmement, toutes les équations doivent être réduites à la forme canonique: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Après toutes ces étapes, nous pouvons commencer à parler de la façon de trouver une solution aux systèmes d'équations linéaires. Les matrices seront très utiles pour cela.
Matrices
Une matrice est un tableau composé de lignes et de colonnes, et ses éléments sont situés à leur intersection. Il peut s'agir de valeurs spécifiques ou de variables. Le plus souvent, pour désigner des éléments, des indices sont placés en dessous (par exemple, a11 ou a23). Le premier index signifie le numéro de ligne et le second le numéro de colonne. Sur les matrices, ainsi que sur tout autre élément mathématique, vous pouvez effectuer diverses opérations. Ainsi, vous pouvez:
1) Soustraire et additionner des tables de même taille.
2) Multiplier une matrice par un nombre ou un vecteur.
3) Transposer: Transformez les lignes de la matrice en colonnes et les colonnes en lignes.
4) Multiplier des matrices si le nombre de lignes de l'une est égal au nombre de colonnes de l'autre.
Nous discuterons de toutes ces techniques plus en détail, car elles nous seront utiles à l'avenir. Soustraire et additionner des matrices est très facile. Alorscomme on prend des matrices de même taille, alors chaque élément d'un tableau correspond à chaque élément d'un autre. Ainsi, nous additionnons (soustrayons) ces deux éléments (il est important qu'ils soient aux mêmes endroits dans leurs matrices). Lorsque vous multipliez une matrice par un nombre ou un vecteur, vous devez simplement multiplier chaque élément de la matrice par ce nombre (ou vecteur). La transposition est un processus très intéressant. Il est parfois très intéressant de le voir en vrai, par exemple lors du changement d'orientation d'une tablette ou d'un téléphone. Les icônes sur le bureau sont une matrice, et lorsque vous changez de position, elles se transposent et s'élargissent, mais diminuent en hauteur.
Prenons un autre regard sur un processus tel que la multiplication matricielle. Bien que cela ne nous soit pas utile, il sera toujours utile de le savoir. Vous ne pouvez multiplier deux matrices que si le nombre de colonnes dans une table est égal au nombre de lignes dans l'autre. Prenons maintenant les éléments d'une ligne d'une matrice et les éléments de la colonne correspondante d'une autre. On les multiplie entre eux puis on les additionne (c'est-à-dire, par exemple, le produit des éléments a11 et a12 par b 12et b22 seront égaux à: a11b12 + a 12 b22). Ainsi, un élément du tableau est obtenu, et il est ensuite rempli par une méthode similaire.
Maintenant, nous pouvons commencer à regarder comment le système d'équations linéaires est résolu.
Méthode de Gauss
Ce sujet commence à passer même à l'école. Nous connaissons bien le concept de "système de deux équations linéaires" et savons comment les résoudre. Mais que se passe-t-il si le nombre d'équations est supérieur à deux ? La méthode de Gauss nous y aidera.
Bien sûr, cette méthode est pratique à utiliser si vous créez une matrice à partir du système. Mais vous ne pouvez pas le transformer et le résoudre dans sa forme la plus pure.
Alors, comment cette méthode résout-elle le système d'équations gaussiennes linéaires ? Soit dit en passant, bien que cette méthode porte son nom, elle a été découverte dans l'Antiquité. Gauss propose ce qui suit: effectuer des opérations avec des équations afin de réduire éventuellement l'ensemble entier à une forme étagée. C'est-à-dire qu'il faut que de haut en bas (si placé correctement) de la première équation à la dernière, une inconnue diminue. En d'autres termes, nous devons nous assurer que nous obtenons, disons, trois équations: dans la première - trois inconnues, dans la seconde - deux, dans la troisième - une. Ensuite, à partir de la dernière équation, nous trouvons la première inconnue, substituons sa valeur dans la deuxième ou la première équation, puis trouvons les deux variables restantes.
Méthode Cramer
Pour maîtriser cette méthode, il est essentiel de maîtriser les compétences d'addition, de soustraction de matrices, et vous devez également être capable de trouver des déterminants. Par conséquent, si vous faites tout cela mal ou si vous ne savez pas du tout comment, vous devrez apprendre et pratiquer.
Quelle est l'essence de cette méthode, et comment faire en sorte qu'un système d'équations linéaires de Cramer soit obtenu ? Tout est très simple. Nous devons construire une matrice à partir des coefficients numériques (presque toujours) d'un système d'équations algébriques linéaires. Pour ce faire, il suffit de prendre les nombres devant les inconnues et de les disposer danstableau dans l'ordre dans lequel ils sont enregistrés dans le système. Si le nombre est précédé d'un signe "-", alors nous écrivons un coefficient négatif. Ainsi, nous avons compilé la première matrice à partir des coefficients des inconnues, sans compter les nombres après les signes d'égalité (naturellement, l'équation doit être réduite à la forme canonique, lorsque seul le nombre est à droite, et toutes les inconnues avec coefficients à gauche). Ensuite, vous devez créer plusieurs autres matrices - une pour chaque variable. Pour ce faire, on remplace tour à tour chaque colonne de coefficients de la première matrice par une colonne de nombres après le signe égal. Ainsi, nous obtenons plusieurs matrices puis trouvons leurs déterminants.
Après avoir trouvé les déterminants, le problème est petit. Nous avons une matrice initiale, et il y a plusieurs matrices résultantes qui correspondent à différentes variables. Pour obtenir les solutions du système, on divise le déterminant du tableau résultant par le déterminant du tableau initial. Le nombre résultant est la valeur de l'une des variables. De même, nous trouvons toutes les inconnues.
Autres méthodes
Il existe plusieurs autres méthodes pour obtenir la solution de systèmes d'équations linéaires. Par exemple, la méthode dite de Gauss-Jordan, qui est utilisée pour trouver des solutions à un système d'équations quadratiques et est également associée à l'utilisation de matrices. Il existe également une méthode de Jacobi pour résoudre un système d'équations algébriques linéaires. C'est le plus facile à adapter à un ordinateur et il est utilisé en informatique.
Cas difficiles
La complexité se produit généralement lorsque le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables. Alors nous pouvons dire avec certitude que soit le système est incohérent (c'est-à-dire qu'il n'a pas de racines), soit le nombre de ses solutions tend vers l'infini. Si nous avons le deuxième cas, nous devons écrire la solution générale du système d'équations linéaires. Il contiendra au moins une variable.
Conclusion
Nous arrivons à la fin. Pour résumer: nous avons analysé ce que sont un système et une matrice, nous avons appris comment trouver une solution générale à un système d'équations linéaires. De plus, d'autres options ont été envisagées. Nous avons découvert comment le système d'équations linéaires est résolu: la méthode de Gauss et la méthode de Cramer. Nous avons parlé de cas difficiles et d'autres moyens de trouver des solutions.
En fait, ce sujet est beaucoup plus vaste, et si vous voulez mieux le comprendre, nous vous conseillons de lire une littérature plus spécialisée.
