Je pense que nous devrions commencer par l'histoire d'un outil mathématique aussi glorieux que les équations différentielles. Comme tout calcul différentiel et intégral, ces équations ont été inventées par Newton à la fin du XVIIe siècle. Il considérait cette découverte comme si importante qu'il en chiffrait même le message, qui peut aujourd'hui se traduire par quelque chose comme ceci: "Toutes les lois de la nature sont décrites par des équations différentielles." Cela peut sembler exagéré, mais c'est vrai. Toute loi de la physique, de la chimie ou de la biologie peut être décrite par ces équations.
Les mathématiciens Euler et Lagrange ont apporté une énorme contribution au développement et à la création de la théorie des équations différentielles. Déjà au 18ème siècle, ils ont découvert et développé ce qu'ils étudient maintenant dans les cours supérieurs des universités.
Une nouvelle étape dans l'étude des équations différentielles a commencé grâce à Henri Poincaré. Il a créé une "théorie qualitative des équations différentielles", qui, en combinaison avec la théorie des fonctions d'une variable complexe, a apporté une contribution significative au fondement de la topologie - la science de l'espace et de sespropriétés.
Que sont les équations différentielles ?
Beaucoup de gens ont peur d'une phrase "équation différentielle". Cependant, dans cet article, nous détaillerons toute l'essence de cet appareil mathématique très utile, qui n'est en fait pas aussi compliqué qu'il n'y paraît d'après son nom. Afin de commencer à parler des équations différentielles du premier ordre, vous devez d'abord vous familiariser avec les concepts de base qui sont intrinsèquement liés à cette définition. Et nous allons commencer par le différentiel.
Différentiel
Beaucoup connaissent ce concept depuis l'école. Cependant, regardons-le de plus près. Imaginez un graphique d'une fonction. Nous pouvons l'augmenter à tel point que n'importe lequel de ses segments prendra la forme d'une ligne droite. On y prend deux points infiniment proches l'un de l'autre. La différence entre leurs coordonnées (x ou y) sera une valeur infinitésimale. C'est ce qu'on appelle un différentiel et il est noté par les signes dy (différentiel de y) et dx (différentiel de x). Il est très important de comprendre que la différentielle n'est pas une valeur finie, et c'est sa signification et sa fonction principale.
Et maintenant, nous devons considérer l'élément suivant, qui nous sera utile pour expliquer le concept d'une équation différentielle. C'est la dérivée.
Dérivée
Nous avons probablement tous entendu parler de ce concept à l'école. On dit que la dérivée est le taux de croissance ou de diminution d'une fonction. Cependant, à partir de cette définitionbeaucoup devient flou. Essayons d'expliquer la dérivée en termes de différentiels. Revenons à un segment infinitésimal d'une fonction avec deux points qui sont à une distance minimale l'un de l'autre. Mais même pour cette distance, la fonction parvient à changer d'une certaine quantité. Et pour décrire ce changement, ils ont proposé une dérivée, qui peut autrement s'écrire sous la forme d'un rapport de différentiels: f(x)'=df/dx.
Maintenant, il convient de considérer les propriétés de base de la dérivée. Il n'y en a que trois:
- La dérivée de la somme ou de la différence peut être représentée comme la somme ou la différence des dérivées: (a+b)'=a'+b' et (a-b)'=a'-b'.
- La deuxième propriété est liée à la multiplication. La dérivée d'un produit est la somme des produits d'une fonction et de la dérivée d'une autre: (ab)'=a'b+ab'.
- La dérivée de la différence peut être écrite comme l'égalité suivante: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Toutes ces propriétés seront utiles pour trouver des solutions aux équations différentielles du premier ordre.
Il existe aussi des dérivées partielles. Disons que nous avons une fonction z qui dépend des variables x et y. Pour calculer la dérivée partielle de cette fonction, par exemple par rapport à x, nous devons prendre la variable y comme constante et simplement la différencier.
Intégral
Un autre concept important est l'intégrale. En fait, c'est l'opposé direct de la dérivée. Il existe plusieurs types d'intégrales, mais pour résoudre les équations différentielles les plus simples, nous avons besoin des intégrales indéfinies les plus triviales.
Alors, qu'est-ce qu'une intégrale ? Disons que nous avons une dépendance fde x. Nous en prenons l'intégrale et obtenons la fonction F (x) (souvent appelée primitive), dont la dérivée est égale à la fonction d'origine. Ainsi F(x)'=f(x). Il en découle également que l'intégrale de la dérivée est égale à la fonction d'origine.
Lors de la résolution d'équations différentielles, il est très important de comprendre la signification et la fonction de l'intégrale, car vous devrez les prendre très souvent pour trouver la solution.
Les équations sont différentes selon leur nature. Dans la section suivante, nous examinerons les types d'équations différentielles du premier ordre, puis apprendrons à les résoudre.
Classes d'équations différentielles
"Diffury" sont divisés selon l'ordre des dérivés impliqués. Ainsi, il y a le premier, le deuxième, le troisième et plus d'ordre. Elles peuvent également être divisées en plusieurs classes: dérivées ordinaires et partielles.
Dans cet article, nous allons considérer des équations différentielles ordinaires du premier ordre. Nous discuterons également des exemples et des moyens de les résoudre dans les sections suivantes. Nous ne considérerons que les ODE, car ce sont les types d'équations les plus courants. Ordinaires sont divisés en sous-espèces: avec des variables séparables, homogènes et hétérogènes. Ensuite, vous apprendrez en quoi ils diffèrent les uns des autres et comment les résoudre.
De plus, ces équations peuvent être combinées, de sorte qu'après on obtient un système d'équations différentielles du premier ordre. Nous examinerons également ces systèmes et apprendrons à les résoudre.
Pourquoi ne considérons-nous que la première commande ? Parce que vous devez commencer par un simple et décrire tout ce qui concerne le différentieléquations, dans un article est tout simplement impossible.
Équations à variables séparables
Ce sont peut-être les équations différentielles du premier ordre les plus simples. Ceux-ci incluent des exemples qui peuvent être écrits comme ceci: y'=f(x)f(y). Pour résoudre cette équation, nous avons besoin d'une formule pour représenter la dérivée comme un rapport de différentiels: y'=dy/dx. En l'utilisant, nous obtenons l'équation suivante: dy/dx=f(x)f(y). Nous pouvons maintenant passer à la méthode de résolution des exemples standard: nous diviserons les variables en parties, c'est-à-dire que nous transférerons tout avec la variable y dans la partie où se trouve dy, et nous ferons de même avec la variable x. On obtient une équation de la forme: dy/f(y)=f(x)dx, qui se résout en prenant les intégrales des deux parties. N'oubliez pas la constante qui doit être définie après avoir pris l'intégrale.
La solution à toute "diffurance" est une fonction de la dépendance de x sur y (dans notre cas) ou, s'il y a une condition numérique, alors la réponse est sous la forme d'un nombre. Analysons tout le déroulement de la solution à l'aide d'un exemple précis:
y'=2ysin(x)
Déplacer les variables dans différentes directions:
dy/y=2sin(x)dx
Maintenant, prenons les intégrales. Tous peuvent être trouvés dans un tableau spécial d'intégrales. Et nous obtenons:
ln(y)=-2cos(x) + C
Si nécessaire, nous pouvons exprimer "y" en fonction de "x". Maintenant, nous pouvons dire que notre équation différentielle est résolue si aucune condition n'est donnée. Une condition peut être donnée, par exemple, y(n/2)=e. Ensuite, nous substituons simplement la valeur de ces variables dans la solution ettrouver la valeur de la constante. Dans notre exemple, il est égal à 1.
Équations différentielles homogènes du premier ordre
Passons maintenant à la partie la plus difficile. Les équations différentielles homogènes du premier ordre peuvent s'écrire sous la forme générale suivante: y'=z(x, y). Il convient de noter que la fonction droite de deux variables est homogène et qu'elle ne peut pas être divisée en deux dépendances: z sur x et z sur y. Vérifier si l'équation est homogène ou non est assez simple: on fait la substitution x=kx et y=ky. Maintenant, nous annulons tous les k. Si toutes ces lettres sont réduites, l'équation est homogène et vous pouvez continuer à la résoudre en toute sécurité. Pour l'avenir, disons: le principe de résolution de ces exemples est également très simple.
Nous devons faire une substitution: y=t(x)x, où t est une fonction qui dépend aussi de x. On peut alors exprimer la dérivée: y'=t'(x)x+t. En remplaçant tout cela dans notre équation d'origine et en la simplifiant, nous obtenons un exemple avec des variables séparables t et x. Nous le résolvons et obtenons la dépendance t(x). Lorsque nous l'avons obtenu, nous remplaçons simplement y=t(x)x dans notre remplacement précédent. Ensuite, nous obtenons la dépendance de y sur x.
Pour que ce soit plus clair, regardons un exemple: xy'=y-xey/x.
Lors de la vérification avec remplacement, tout est réduit. L'équation est donc vraiment homogène. Maintenant, nous faisons une autre substitution dont nous avons parlé: y=t(x)x et y'=t'(x)x+t(x). Après simplification, on obtient l'équation suivante: t'(x)x=-et. Nous résolvons l'exemple résultant avec des variables séparées et obtenons: e-t=ln(Cx). Il suffit de remplacer t par y/x (après tout, si y=tx, alors t=y/x), et on obtientréponse: e-y/x=ln(xC).
Équations différentielles linéaires du premier ordre
Il est temps pour un autre grand sujet. Nous analyserons des équations différentielles inhomogènes du premier ordre. En quoi sont-ils différents des deux précédents ? Essayons de comprendre. Les équations différentielles linéaires du premier ordre sous forme générale peuvent s'écrire comme suit: y' + g(x)y=z(x). Il convient de préciser que z(x) et g(x) peuvent être des constantes.
Et maintenant un exemple: y' - yx=x2.
Il y a deux façons de résoudre ce problème, et nous allons traiter les deux dans l'ordre. La première est la méthode de variation des constantes arbitraires.
Afin de résoudre l'équation de cette manière, vous devez d'abord égaliser le côté droit à zéro et résoudre l'équation résultante, qui après avoir déplacé les pièces prendra la forme:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Maintenant, nous devons remplacer la constante C1 par la fonction v(x) que nous devons trouver.
y=vex2/2.
Changeons la dérivée:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Et substituez ces expressions dans l'équation d'origine:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Vous pouvez voir que deux termes s'annulent sur le côté gauche. Si, dans certains exemples, cela ne s'est pas produit, vous avez fait quelque chose de mal. Continuer:
v'ex2/2 =x2.
Maintenant, nous résolvons l'équation habituelle dans laquelle nous devons séparer les variables:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Pour extraire l'intégrale, nous devons appliquer ici l'intégration par parties. Cependant, ce n'est pas le sujet de notre article. Si vous êtes intéressé, vous pouvez apprendre à effectuer vous-même de telles actions. Ce n'est pas difficile, et avec suffisamment de compétence et d'attention, cela ne prend pas beaucoup de temps.
Passons à la deuxième méthode de résolution d'équations non homogènes: la méthode de Bernoulli. L'approche la plus rapide et la plus simple dépend de vous.
Donc, lors de la résolution de l'équation par cette méthode, nous devons faire un remplacement: y=kn. Ici, k et n sont des fonctions dépendantes de x. Alors la dérivée ressemblera à ceci: y'=k'n+kn'. Remplacez les deux substitutions dans l'équation:
k'n+kn'+xkn=x2.
Groupe:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Maintenant, nous devons assimiler à zéro ce qui est entre parenthèses. Maintenant, si vous combinez les deux équations résultantes, vous obtenez un système d'équations différentielles du premier ordre que vous devez résoudre:
n'+xn=0;
k'n=x2.
La première égalité est résolue comme une équation normale. Pour ce faire, vous devez séparer les variables:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Prenez l'intégrale et obtenez: ln(n)=x2/2. Alors, si on exprime n:
n=ex2/2.
Maintenant, nous substituons l'égalité résultante dans la deuxième équation du système:
k'ex2/2=x2.
Et en transformant, on obtient la même égalité que dans la première méthode:
dk=x2/ex2/2.
Nous n'irons pas plus loin non plus. Il vaut la peine de dire qu'au début, la solution des équations différentielles du premier ordre pose des difficultés importantes. Cependant, au fur et à mesure que vous approfondissez le sujet, il commence à aller de mieux en mieux.
Où sont utilisées les équations différentielles ?
Les équations différentielles sont très activement utilisées en physique, puisque presque toutes les lois fondamentales sont écrites sous forme différentielle, et les formules que nous voyons sont la solution de ces équations. En chimie, ils sont utilisés pour la même raison: des lois fondamentales en sont dérivées. En biologie, les équations différentielles sont utilisées pour modéliser le comportement de systèmes, tels que prédateur-proie. Ils peuvent également être utilisés pour créer des modèles de reproduction, par exemple, d'une colonie de micro-organismes.
Comment les équations différentielles peuvent-elles aider dans la vie ?
La réponse à cette question est simple: pas question. Si vous n'êtes pas un scientifique ou un ingénieur, il est peu probable qu'ils vous soient utiles. Cependant, pour le développement général, il n'est pas inutile de savoir ce qu'est une équation différentielle et comment elle est résolue. Et puis la question d'un fils ou d'une fille "qu'est-ce qu'une équation différentielle?" ne vous confondra pas. Eh bien, si vous êtes un scientifique ou un ingénieur, vous comprenez vous-même l'importance de ce sujet dans toute science. Mais le plus important est que maintenant la question "comment résoudre une équation différentielle du premier ordre ?" vous pouvez toujours répondre. D'accord, c'est toujours agréablequand vous comprenez ce que les gens ont même peur de comprendre.
Principaux problèmes d'apprentissage
Le principal problème pour comprendre ce sujet est la faible capacité d'intégration et de différenciation des fonctions. Si vous êtes mauvais pour prendre des dérivées et des intégrales, alors vous devriez probablement en apprendre davantage, maîtriser différentes méthodes d'intégration et de différenciation, et seulement ensuite commencer à étudier le matériel décrit dans l'article.
Certaines personnes sont surprises lorsqu'elles découvrent que dx peut être transféré, car plus tôt (à l'école), il a été déclaré que la fraction dy/dx est indivisible. Ici, vous devez lire la littérature sur la dérivée et comprendre que c'est le rapport des quantités infinitésimales qui peut être manipulé lors de la résolution d'équations.
Beaucoup ne réalisent pas immédiatement que la solution des équations différentielles du premier ordre est souvent une fonction ou une intégrale qui ne peut pas être prise, et cette illusion leur donne beaucoup de mal.
Que peut-on étudier d'autre pour mieux comprendre ?
Il est préférable de commencer une immersion plus poussée dans le monde du calcul différentiel avec des manuels spécialisés, par exemple, en calcul pour les étudiants de spécialités non mathématiques. Ensuite, vous pouvez passer à une littérature plus spécialisée.
Il faut dire qu'en plus des équations différentielles, il existe aussi des équations intégrales, vous aurez donc toujours quelque chose à rechercher et quelque chose à étudier.
Conclusion
Nous espérons qu'après avoir luCet article vous a donné une idée de ce que sont les équations différentielles et comment les résoudre correctement.
Dans tous les cas, les mathématiques nous seront en quelque sorte utiles dans la vie. Il développe la logique et l'attention, sans lesquelles chaque personne est comme sans mains.
